考研真题

若 $S$ 为光滑封闭曲面，$l$ 为任意非零常向量，证明 ${\iint }_S\cos (\widehat{n,l})d\sigma =0,$ 其中 $n$ 是外法线单位向量。

计算 $I={\iiint }_{\Omega }(x+y+z{)}^{2}dV,$ 其中 $\Omega$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=3$ 与抛物面 $2z=x^2+y^2$ 围成的有限区域。

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

设 $I(y)={\int }_y^{y^2}\frac{\cos (xy)}{x}dx$⁠，求 $I^{\prime }(y)$⁠。

设 $y=\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}$⁠，求 $d^{2}y$⁠。

计算 $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{1/x}$⁠。

计算 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx$⁠。

计算 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$⁠。

设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵，0 是最小多项式 $m(\lambda )$ 的 $r$ 重根，$r\ge 2$⁠。证明： (1)对任意 $k\ge r$⁠，$r(A^k)=r(A^r)$⁠； (2)$r(A^r)<r(A^{r-1})$⁠。

设 $\mathcal{A}$ 为欧氏空间 $V$ 上的线性变换，在基 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 下矩阵为 $A$⁠，该基度量矩阵为 $G=(({\alpha }_i,{\alpha }_j)).$ 证明 $\mathcal{A}$ 为对称变换的充要条件是 $A^{T}G=GA.$

设 $f=l_1^2+\cdots +l_s^2-l_{s+1}^2-\cdots -l_{s+t}^2,$ 其中 $l_i$ 为实线性形式。证明 $f$ 的正惯性指数 $p\le s$⁠。

设 $f(x)=x^p+px+p-1,$ 其中 $p$ 为奇素数。证明 $f$ 在有理数域上不可约。

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 2\\ -1& 1& 1\\ -2& 1& 3\end{array}\right).$ 求 Jordan 标准形 $J$ 及可逆矩阵 $P$⁠，使 $P^{-1}AP=J$⁠。

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能