考研真题

计算曲面积分 ${\iint }_S(x^2+y)dydz-ydzdx+(x^2+y^2)dxdy,$ 其中 $S=\{(x,y,z):z=x^2+y^2,0\le z\le 1\},$ 方向向外。

摆线参数方程为 $x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t),a>0,0\le t\le 2\pi .$ 求摆线的弧长。

若 $z=f\left(x+y,xy,\frac{x}{y}\right),$ 其中 $f(u,v,w)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\partial z/\partial x$ 与 ${\partial }^{2}z/\partial x^2$⁠。

设三阶实正定对称矩阵 $A=(a_{ij})$⁠，且所有元素属于 $\{-1,0,1\}$⁠。求 $A$⁠。

设复可逆矩阵 $A$ 的平方 $A^2$ 可对角化。证明 $A$ 可对角化。

证明 $r(A)=r$ 当且仅当存在两组各自线性无关的向量 ${\alpha }_i,{\beta }_i$⁠，使 $A={\sum }_{i=1}^r{\alpha }_i{\beta }_i^T.$

设 $V$ 有限维，证明秩-零度公式、单射等价于可逆，并给出无限维反例。

记 $N(A)=\{\lambda \in \mathbb{C}$:\lambda A\text{ 与 }A\text{ 相似}\}. (1) 设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$ 求 $N(A)$⁠； (2) 若 $A$ 不是幂零矩阵，证明 $N(A)$...

设 $A$ 是对角元均为一、上副对角元均为负一的 $n$ 阶上三角矩阵，求 $A^{-1}$⁠。

判断：(1) $V=W_1\oplus W_2$ 是否推出每个向量属于其中一个子空间；(2) $p(x)$ 不可约是否推出 $p(x^2)$ 不可约；(3) 偶数维实空间是否存在 $A,B$⁠，使每个非零 $\alpha$ 的 $A\alpha ,B\alpha$ 无关。

设 $f(x)=(x+1{)}^{2024}-x^{2024}-1$⁠。(1) 求 $f^{\prime }$⁠；(2) 求 $f^{\prime }$ 的复根及在复域、实域的不可约分解；(3) 判断 $f$ 是否有重根。

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计算第一卦限球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 上 ${\iint }_{S}xyz(x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2)dS.$

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