考研真题

设 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f$ 严格递增，且 $0\le g(x)\le 1$⁠。证明 ${\int }_a^{a+{\int }_a^{b}g(t)dt}f(x)dx\le {\int }_a^{b}f(x)g(x)dx.$

求函数 $f(x,y,z)=xyz$ 在约束 $x^2+y^2+z^2=1,x+y+z=0$ 下的极值。

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设 $f(x)={\int }_1^x{e}^{t^2}dt.$ 证明存在 $\xi ,\eta \in (1,2)$⁠，使 $f(\xi )=(2-\xi )e^{{\xi }^2},f(2)=\eta e^{{\eta }^2}\ln 2.$

函数 $f$ 在 $[0,2]$ 上存在二阶导数，并满足 $|f(x)|\le 1,|f^{\prime \prime }(x)|\le 1(x\in [0,2]).$ 证明 $|f^{\prime }(x)|\le 2(x\in [0,2]).$

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函数 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上有定义且一致连续。已知对每个 $x>0$⁠， ${\lim }_{n\to \infty }f(x+n)=0.$ 证明 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0.$

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计算极限 ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=1}^n\frac{\sin (i\pi /n)}{n+n/i}.$

设 $A$ 为 $n$ 阶 Hermite 矩阵，特征值满足 ${\lambda }_1(A)\ge {\lambda }_2(A)\ge \cdots \ge {\lambda }_n(A).$ 1. 证明对任意非零 $X\in {\mathbb{C}}^n$⁠，...

设二次型 $Q(x_1,x_2,x_3)=\lambda (x_1^2+x_2^2+x_3^2)+3x_2^2-4x_1{x}_2-2x_1{x}_3+4x_2{x}_3.$ 1. 求 $Q$ 正定时的 $\lambda$⁠； 2. 求 $Q$ 为实一次多项式完全平方时的 $\lambda$⁠，并写出该完全平方式。

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在 ${\mathbb{R}}^3$ 上定义 $(X,Y)=X^T\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)Y.$ 1. 证明这是一个内积； 2. 利用 Schmidt 正交化，从...

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1. 设 $A\in {\mathbb{F}}^{m\times n}$⁠、$B\in {\mathbb{F}}^{n\times m}$⁠，证明 $\det (I_m+AB)=\det (I_n+BA);$ 2. 已知 $A\in {\mathbb{F}}^{n\times n}$⁠、$r(A)=1$⁠、$\mathrm{tr}A=\lambda$⁠，求...

在 ${\mathbb{R}}^3$ 上，线性变换 $\mathcal{A}$ 把 ${\alpha }_1=(0,1,1{)}^T,{\alpha }_2=(1,0,1{)}^T,{\alpha }_3=(1,1,0{)}^T$ 分别映射到...

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求 ${\mathbb{R}}^4$ 中向量组 $(1,-1,1,-1),(-1,1,5,-5),(-1,1,1,-1),(0,0,12,-12)$ 张成子空间 $V$ 的维数。