考研真题

设 $f$ 在 $[0,\infty )$ 连续。证明 ${\int }_0^{\infty }{e}^{-\alpha x}f(x)dx$ 关于 $\alpha \in [0,\infty )$ 一致收敛，当且仅当 ${\int }_0^{\infty }f(x)dx$ 收敛。

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设 $f,g$ 在 $(a,b)$ 连续。问方程 $f(x)y=g(x)$ 何时唯一确定连续解。

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设 $f(x)=\frac{1}{4}x(2\pi -x)$($0\le x\le 2\pi$)。(1) 展开 Fourier 级数并求 $\sum 1/n^2$⁠；(2) 逐项积分求 $\sum 1/n^4$⁠。

设连续函数列 $f_n$ 在 $[a,b]$ 一致收敛到 $f$⁠。(1) 证明 $f_n,f$ 一致有界；(2) 若 $g$ 在 $\mathbb{R}$ 连续，证明 $g\circ f_n\to g\circ f$ 一致。

设 $f$ 在 $[0,\infty )$ 一致连续，且对每个 $h>0$⁠，数列 $f(nh)$ 有极限。证明 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)$ 存在。

证明三次多项式的 Simpson 公式，并推广到 $[a,b]$⁠： ${\int }_a^{b}f(x)dx=\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].$

设 $f$ 在 $x_0$ 可导。 (1) 令 $x_n={\sum }_{k=1}^{n}f\left(x_0+\frac{k}{n^2}\right)-nf(x_0),$ 求极限；(2) 求 ${\sum }_{k=1}^n\sin (k/n^2)$ 的极限；(3) 求 ${\prod }_{k=1}^n(1+k/n^2)$ 的极限。

(1) $0<x_1<1$⁠，$x_{n+1}=x_n(1-x_n)$⁠，证明 $n{x}_n\to 1$⁠。 (2) $0<p<1$⁠，$0<x_1<1/p$⁠，$x_{n+1}=x_n(1-p{x}_n)$⁠，证明 $n{x}_n\to 1/p$⁠。

设 $A\in M_n(\mathbb{R})$⁠，并记 $\mathrm{Im}(A)=\{AX:X\in {\mathbb{R}}^n\}.$ 1. 证明 $\mathrm{Im}(A{A}^T)=\mathrm{Im}(A);$ 2. 若 $A^2=0$⁠，令 $B=A^{T}A+A{A}^T,$ 证明...

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设 $A,B\in M_n(\mathbb{K})$⁠，$k\in \mathbb{K}$ 是非零常数。 1. 证明：若 $AB=k{I}_n$⁠，则 $BA=k{I}_n$⁠； 2. 证明：若 $AB=0$⁠，则 $\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B\le n.$

设 $A=\left(\begin{array}{cccc}-2& -9& 2& -31\\ 0& -2& 1& -5\\ 1& 4& 0& 12\\ 0& 1& -1& 4\end{array}\right).$ 1. 求 $A$ 的特征值及相应的特征子空间； 2. 求 $A^{2024}$⁠。

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设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),C(A)=\{X\in M_3(\mathbb{C}):AX=XA\}.$ 1. 求 $\dim C(A)$⁠； 2. 定义线性映射...

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