考研真题

矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 2& x& 2\\ 3& 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& y\end{array}\right)$ 是同一线性变换在两组不同基下的矩阵。求 $x,y$⁠，并求 $A$ 的 Smith 标准型。

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已知 $\lambda$-方阵 $A(\lambda )=\left(\begin{array}{ccc}1-\lambda & {\lambda }^2& \lambda \\ \lambda & \lambda & -\lambda \\ 1+{\lambda }^2& {\lambda }^2& -{\lambda }^2\end{array}\right).$ 求其初等因子组。

方阵 $A$ 满足 $I-2A-3A^2+4A^3+5A^4-6A^5=O.$ 求 $(I-A{)}^{-1}$⁠。

计算 ${\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{3}\\ -\sqrt{3}& 1\end{array}\right)}^{2024}$ 以及 $\det \left(\begin{array}{cc}2I_n& 4I_n\\ 9I_n& 3I_n\end{array}\right).$

点 $P=(3,2,17)$ 在平面 $3x+4y+12z-52=0$ 上的垂足为 $Q$⁠。求 $Q$⁠。

在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，已知 $A=(1,-1,2),B=(5,-6,2),C=(1,3,-1).$ 求三角形 $ABC$ 的面积 $S$ 及 $AC$ 边上的高 $h$⁠。

设 $S_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k,{\sigma }_n=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{S}_k.$ 若 $a_n=o(1/n)$⁠，且 ${\sigma }_n\to \sigma$⁠，证明 $S_n\to \sigma$⁠。

设 $f\in R[-\pi ,\pi ]$⁠，并以 $2\pi$ 为周期，其 Fourier 级数为 $f(x)\sim \frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx).$ 证明：对任意 $c,d\in [-\pi ,\pi ]$⁠，...

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设 $f$ 在 $[-1,1]$ 上二阶可导，且 $f(-1)=f(0)=0,f(1)=1.$ 证明存在 $\xi \in (-1,1)$⁠，使 $f^{\prime \prime }(\xi )=1.$

设 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 在 $(0,0)$ 附近存在偏导数 $f_x,f_y$⁠，且 $f_x$ 在 $(0,0)$ 连续。证明：对任何 $u,v\in \mathbb{R}$⁠，...

确定含参量积分 $I(\alpha )={\int }_0^{+\infty }\frac{\ln (1+x^3)}{x^{\alpha }}dx$ 的定义域与连续性。

计算极限 ${\lim }_{n\to \infty }n\left(\frac{1}{n^2+1^2}+\frac{1}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2+n^2}\right).$