考研真题

求极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-(\cos x{)}^{\sin x}}{\sqrt{1+x^3}-1}.$

设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵，求所有与 $A$ 可交换的复方阵，并写出详细过程。

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设向量空间 $V$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$ 满足 ${\mathcal{A}}^2=\mathcal{A},$ 称 $\mathcal{A}$ 为投影映射。证明： (1)$\beta \in \mathrm{Im}\mathcal{A}$ 当且仅当 $\mathcal{A}\beta =\beta$⁠； (2)...

设 $V$ 是 $\mathbb{R}$ 上的向量空间，${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 是一组基。定义线性映射 $\mathcal{A}$ 为...

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设 $A,B$ 分别为 $m\times n$⁠、$n\times q$ 矩阵，证明 $r(A)+r(B)\le r(AB)+n.$

证明：秩为 $r$ 的矩阵 $A$ 可分解为 $A=BC,$ 其中 $B,C$ 分别为列满秩矩阵、行满秩矩阵，秩均为 $r$⁠。若 $A=BC=B_1{C}_1$ 是两种这样的分解，证明存在可逆矩阵 $P$⁠，使 $BP=B_1,P^{-1}C=C_1.$

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设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵。若存在正整数 $k$⁠，使 $r(A^k)=r(A^{k+1}),$ 证明 $r(A^k)=r(A^{k+j}),j=1,2,3,\dots .$

计算下列行列式： (1) $\left|\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 2& 3& 0& 0& 0\\ 4& 5& 6& 0& 0\\ 7& 8& 9& 1& -2\\ 10& 11& 12& 3& 4\end{array}\right|.$ (2)...

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设 $n$ 为正整数，三角多项式 $f_n(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{k=1}^n({\alpha }_k\cos kx+{\beta }_k\sin kx).$ 证明 ${\max }_{-\pi \le x\le \pi }|f_n^{\prime }(x)|\le n^2{\max }_{-\pi \le x\le \pi }|f_n(x)|.$

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证明函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{1-x^{2n}}(1-x)\sin (nx)$ 在 $(1/2,1)$ 上一致收敛。

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计算三重积分 ${\iiint }_{V}x{e}^{y+z}dxdydz,$ 其中 $V$ 由曲面 $y=x^2(x\ge 0)$ 和平面 $y=x,x+y+z=2,z=0$ 围成。

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设 $f(x,y)$ 有连续偏导数，并且对任意光滑曲线 $L$⁠，曲线积分 ${\int }_{L}2xydx+f(x,y)dy$ 与路径无关。求 $f(x,y)$⁠，使对所有实数 $t$ 都有...