考研真题

计算 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x\ln (1+x)-x^2}.$

计算 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\cos \frac{1}{\sqrt{n}}\right)}^n.$

若数列 $\{a_n\}$ 满足 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lambda >1,$ 证明 $a_n\to 0$⁠。

叙述函数极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A\in \mathbb{R}$ 的 $\epsilon$-$\delta$ 定义，并用定义证明 ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x}=0.$

是否存在 $\mathbb{R}$ 上连续函数 $p,q$⁠，使方程 $y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$ 有两个解 $\varphi (x)=\sin x,\psi (x)=x{e}^x?$

设 $t>0$⁠，求方程组 $\{\begin{array}{l}t{x}^{\prime }-x-y=0,\\ t{y}^{\prime }+x-y=0.\end{array}$

设 $p$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。证明初值问题 $y^{\prime }=p(x)\sin y,y(0)=0$ 的任一解均为 $y\equiv 0$⁠。

求方程 $(y^{\prime }{)}^3+y^3-3y{y}^{\prime }=0$ 的通解。

求微分方程 $(y+x^{3}y+2x^2)dx+(x+4x{y}^4+8y^3)dy=0$ 的通解。

在同样条件下证明 $\dim (W_1+W_2^{\perp })\le n-t+s.$

设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$W_1,W_2$ 是子空间，且 $\dim W_1=s<\dim W_2=t.$ 证明存在 $0\ne \beta \in W_2$ 与 $W_1$ 正交，并证明 $\dim (W_1^{\perp }\cap W_2)\ge t-s.$

设 $A,B$ 为三阶复方阵，且都只有一个特征值 ${\lambda }_0$⁠。证明 $A$ 与 $B$ 相似的充要条件是 $\dim V_{{\lambda }_0}(A)=\dim V_{{\lambda }_0}(B),$ 其中 $V_{{\lambda }_0}$ 为特征子空间。