考研真题

计算曲线积分 $I={\int }_L(e^x\sin y-2x-2y)dx+(e^x\cos y-x)dy,$ 其中 $L$ 为从 $A(0,0)$ 沿曲线 $y=\sqrt{2x-x^2}$ 到 $B(2,0)$ 的有向弧。

计算第二类曲面积分 ${\iint }_S{x}^{2}dydz+y^{2}dzdx+z^{2}dxdy,$ 其中 $S$ 是球面 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ 并取外侧。

将 $f(x)=1-x^2$($0\le x\le \pi$)展开成余弦级数，并求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^2}.$

讨论反常积分 ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^2\sqrt{\ln x}}$ 的敛散性。

讨论反常积分 ${\int }_2^{+\infty }\frac{dx}{x{\ln }^{2}x}$ 的敛散性。

讨论函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x{y}^3}{x^2+y^4},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$ 在原点的连续性、偏导数存在性和可微性。

设 $f(x)\ge 0$ 在 $[0,+\infty )$ 上可微，$f(0)=0$⁠，且 $|f^{\prime }(x)|\le f(x).$ 证明 $f\equiv 0$⁠。

设 $A,B$ 为有界数集且 $A\cap B\ne \varnothing$⁠。证明 $\sup (A\cap B)\le \min \{\sup A,\sup B\},$ 并给出等号不成立的例子。

求空间曲线 $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=2z,\\ x^2+y^2+xy=1\end{array}$ 上的点到 $xOy$ 平面的最大与最小距离。

求幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^n}{n+1}$ 的收敛半径、收敛域与和函数，并求 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(n+1)2^n}.$

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $4{\int }_0^{1}f(t)dt=1.$ 证明存在 $\xi \in [0,1]$⁠，使 $f(\xi )={\xi }^3$⁠。

讨论函数 $y=\sin (\sin x)$ 与 $y=x\cos x$ 在 $[0,+\infty )$ 上的一致连续性。