考研真题

计算第一类曲面积分 ${\iint }_{\Sigma }(x+y+z)dS,$ 其中 $\Sigma$ 是半球面 $x^2+y^2+z^2=1,y\le 0.$

讨论函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x+(-1{)}^{n}n}{x^2+n^2}$ 的条件收敛域、绝对收敛域和一致收敛域。

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设矩阵 $A$ 的特征多项式和最小多项式分别为 $f(\lambda )=(\lambda +1{)}^3(\lambda -2{)}^2(\lambda +3),$ $m(\lambda )=(\lambda +1{)}^2(\lambda -2)(\lambda +3).$ 求 $A$ 的有理标准型。

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设矩阵 $A$ 的特征多项式和最小多项式分别为 $f(\lambda )=(\lambda +1{)}^3(\lambda -2{)}^2(\lambda +3),$ $m(\lambda )=(\lambda +1{)}^2(\lambda -2)(\lambda +3).$ 求 $A$ 的所有不变因子。

已知 $A=\left(\begin{array}{cc}3/2& -1/2\\ 1/2& 1/2\end{array}\right).$ 求 $A^{100}$⁠。

设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2+t{x}_2{x}_3.$ 当 $t=1$ 时，求对应矩阵 $A$ 的最小多项式。

设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2+t{x}_2{x}_3.$ 求 $t$ 的取值范围，使二次型正定。

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$⁠，$n\ge 2$⁠，A^ 为 $A$ 的伴随矩阵。证明 (A^)^*=|A|^{n-2}A.

若 $A^n=0$⁠，证明 $|A+E|=1,$ 其中 $E$ 是单位矩阵。

若 $A$ 是 $n$ 阶方阵，证明 $A^n=0$ 当且仅当 $A$ 的全部特征值为 $0$⁠。

已知 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 是 $n$ 级正定矩阵。 证明 $A$ 的所有元素中绝对值最大的元素一定在主对角线上。

已知 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 是 $n$ 级正定矩阵。 证明当 $i\ne j$ 时 $2|a_{ij}|<a_{ii}+a_{jj}.$