考研真题

设 $A=i\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ -1& -1& 0& 0\\ -2& -2& 2& 1\\ 1& 1& -1& 0\end{array}\right).$ 判断：$A$ 的初等因子为 $\lambda ,\lambda ,(\lambda -1{)}^2$⁠。

判断：欧氏空间上的对称变换在任意一组基下的矩阵都是实对称矩阵。

判断：对任意 $n$ 阶矩阵 $A,B,C,D$⁠，均有 $\det \left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=\det (AD-CB).$

判断：齐次方程组 $AX=0$ 有唯一解的充分必要条件是 $\det A=0$⁠。

判断：多项式 $x^4+x^3+x^2+x+1$ 在有理数域上不可约。

设 $A,B$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，且 $A$ 对称。求实对称矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^T& 0\end{array}\right)$ 的正负惯性指数之差。

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& a\\ 2& 2& b\\ 0& 0& 5\end{array}\right),V=\{B\in {\mathbb{C}}^{3\times 3}:AB=BA\}.$ 求 $\dim V$⁠。

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，且 $\begin{array}{rl}{\beta }_1& ={\alpha }_1+2{\alpha }_2+3{\alpha }_3,\\ {\beta }_2& =2{\alpha }_1+2{\alpha }_2+3{\alpha }_3,\\ {\beta }_3& =3{\alpha }_1+2{\alpha }_2+3{\alpha }_3.\end{array}$ ...

设非零矩阵 $A$ 满足 $r(A)=p$ 且 $A^2=A$⁠。求 $r(A-I)+r(A+I).$

设 $\alpha$ 为 $n$ 维单位实列向量，$I$ 为单位矩阵，求 $\det (2I-\alpha {\alpha }^T).$

若 $g:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$ 可导，证明存在趋于正无穷的正数列 $x_n$⁠，使 $g^{\prime }(x_n)<g(2x_n).$

设 $f$ 在 $(-\infty ,-1]$ 上连续，且 ${\int }_{-\infty }^{-1}f(x)dx$ 收敛。证明存在 $x_n\to -\infty$⁠，使 $f(x_n)\to 0$⁠。