考研真题

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& b& -c\\ -b& 0& a\\ c& -a& 0\end{array}\right),q=a^2+b^2+c^2,$ 并令 $B=A^2+qA+I_3.$ 求 $q$ 为何值时 $B$ 为正交矩阵。

设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$\alpha$ 为实列向量。证明 $A^{-1}$ 与 $A+\alpha {\alpha }^T$ 均为正定矩阵。

利用上一问证明：若 $r(A)=n$⁠，则 $r(AB)=r(B)$⁠；若 $r(A)=m$⁠，则 $r(CA)=r(C)$⁠。

设 $A,B,C$ 分别为 $m\times n,n\times t,s\times m$ 矩阵。若 $r(A)=r$⁠，证明存在可逆矩阵 $P,Q$⁠，使 $PA$ 的后 $m-r$ 行全为零，$AQ$ 的后 $n-r$ 列全为零。

讨论齐次线性方程组 $\{\begin{array}{l}a{x}_1+b{x}_2+\cdots +b{x}_n=0,\\ b{x}_1+a{x}_2+\cdots +b{x}_n=0,\\ \cdots \cdots \\ b{x}_1+b{x}_2+\cdots +a{x}_n=0,\end{array}$ 其中...

设二元连续可微函数 $F$ 在直角坐标下可写为 $F(x,y)=g(y)f(x),$ 在极坐标下可写为 $F(r\cos \theta ,r\sin \theta )=h(r).$ 若 $F(x,y)$ 无零点，求 $F(x,y)$⁠。

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若 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 ${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx,$ 并计算 ${\int }_0^{\pi }\frac{x{\sin }^{2n}x}{{\sin }^{2n}x+{\cos }^{2n}x}dx.$

证明数列 $a_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}-\ln n$ 的极限存在。

证明：对 $x>0$⁠， $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x.$

计算含参积分 $I(a)={\int }_0^{+\infty }\frac{\arctan (ax)}{x(1+x^2)}dx,a>0.$

当 $x\to +\infty$ 时，比较无穷大量 $(\ln x{)}^{100}\text{与}{e}^{(\ln x{)}^{1/100}}.$

当 $x\to +\infty$ 时，比较无穷大量 $x$ 与 $(\ln x{)}^{100}$⁠。