考研真题

设 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^3}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0),\end{array}$ 求在原点沿方向 $(\cos \alpha ,\sin \alpha {)}^T$ 的方向导数。

设 $f(x)=|x{|}^{\alpha }$($x\in {\mathbb{R}}^n$)，求 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}+\cdots +\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}.$

求级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n!}.$

设 $f(x)=x+\ln x$⁠，$g$ 是 $f$ 的反函数，求 $g^{\prime \prime }(x)$⁠。

求 ${\lim }_{n\to \infty }(\ln n-[\ln n]),$ 其中 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数。

计算 ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x\sin x-x(1+x)}{x^3}.$

在上一问条件下，若 $V_{\mu }\ne \{0\}$⁠，证明 $\mu =0$ 或 $1$⁠。

设有限维复空间上的线性变换 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ 满足 $\mathcal{A}\mathcal{B}-\mathcal{B}\mathcal{A}={\mathcal{A}}^2-\mathcal{A}.$ 定义广义特征子空间...

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设 $A$ 为数域 $F$ 上的 $n$ 阶矩阵，$p(x)$ 为首一不可约多项式。若 $A$ 的最小多项式为 $p^r(x)$⁠，求 $P=\left(\begin{array}{cc}A& I\\ 0& A\end{array}\right)$ 的最小多项式。

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求解线性方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+3x_3+4x_4=1,\\ x_1+3x_2-x_3-x_4=0,\\ 3x_1+8x_2+(a^2-5a+7)x_3+a{x}_4=1.\end{array}$

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设 $A$ 为对角元全为0、非对角元全为1的 $n$ 阶矩阵($n>1$)，求 $A^{-1}$⁠。

设 $A=\left(\begin{array}{cccc}3& 0& 0& 0\\ 2& 3& 0& 0\\ 2& 2& 3& 0\\ 2& 2& 2& 3\end{array}\right),AB=B+I.$ 求 $B^n$⁠，其中 $n$ 为整数。

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