考研真题

已知 $f$ 在0处连续，且对任意实数 $x,y$ 满足 $f(x+y)=f(x)+f(y).$ 证明 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续且 $f(x)=f(1)x$⁠。

证明 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n}{n}=0.$

已知级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛于 $a$⁠，求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n{a}_1+(n-1)a_2+\cdots +a_n}{n}.$

将 ${\int }_{1/2}^{1/\sqrt{2}}dx{\int }_{1/2}^{x}f(x,y)dy+{\int }_{1/\sqrt{2}}^{1}dx{\int }_{x^2}^{x}f(x,y)dy$ 改为先对 $x$ 积分。

计算 ${\int }_0^a{x}^2\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}dx(a>0).$

已知 ${\lim }_{x\to -\infty }(f(x)-f^{\prime }(x))=2023,$ 求 ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$⁠。

计算 ${\lim }_{n\to \infty }{\tan }^n\left(\frac{\pi }{4}+\frac{1}{n}\right).$

证明连续函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有界。

若 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 为 $C^1$ 映射，且 $f^{\prime }(x)x=0$ (页面写作 $x{f}^{\prime }(x)=0$)，证明 $f$ 为常值映射。

设 $\sum a_n$ 绝对收敛，$\sum b_n$ 收敛，和分别为 $A,B$⁠。令 $c_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k{b}_{n-k+1}.$ 证明 $\sum c_n=AB$⁠。

证明极限 ${\lim }_{h\to 0^{+},k\to 0^{+}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-k)}{h+k}$ 存在的充要条件是 $f$ 在 $x_0$ 处可导。

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计算不定积分 $\int \sin (\ln x)dx.$