考研真题

若 $A+I$ 可逆，定义 $f(A)=(I-A)(I+A{)}^{-1}.$ 证明 $(I+f(A))(I+A)=2I.$

在上一问条件下求 $a,b$ 及方程组通解。

非齐次方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4=-1,\\ 4x_1+3x_2+5x_3-x_4=-1,\\ a{x}_1+x_2+3x_3+b{x}_4=1\end{array}$ 有三个线性无关的解。证明系数矩阵 $A$ 的秩为2。

计算 $D_n=\det (a+x_i^j{)}_{1\le i,j\le n}.$

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叙述并证明 Eisenstein 判别法。

证明含参反常积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\cos x^2}{x^y}dx$ 在 $y\in (-1,1)$ 上内闭一致收敛。

计算 ${\iint }_S(x^2\cos \alpha +y^2\cos \beta +z^2\cos \gamma )dS,$ 其中 $S:x^2+y^2=z^2,0\le z\le h$⁠，法向与 $z$ 轴正向夹角为锐角。

讨论级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-\alpha {)}^{n}n!}{n^n},\alpha >0$ 的敛散性。

设 $u=u(x,y,z)$⁠，采用球坐标 $x=r\sin \phi \cos \theta ,y=r\sin \phi \sin \theta ,z=r\cos \phi ,$ 且 $x{u}_x+y{u}_y+z{u}_z=0.$ 证明 $u$ 仅为 $\phi ,\theta$ 的函数。

设 $f(x)>0$ 单调递减。证明 ${\int }_a^{\infty }f(x)dx\text{与}{\int }_a^{\infty }f(x){\sin }^{2}xdx$ 同敛散。

若 $f\in C^1[0,1]$ 且 $f(0)=0$⁠，证明 ${\int }_0^1{f}^2(x)dx\le \frac{1}{2}{\int }_0^1|f^{\prime }(x){|}^{2}dx.$

证明积分形式的 Cauchy 不等式： ${\left({\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\right)}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)dx{\int }_a^b{g}^2(x)dx.$