考研真题

设 $0<a<b$⁠，证明 $\frac{2a}{a^2+b^2}<\frac{\ln b-\ln a}{b-a}.$

若 ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)-f(-x)}{2x}=0,$ 则 $f^{\prime }(0)=0$⁠。此结论是否成立？为什么？

用数学语言描述数列 $\{a_n\}$ 不是基本列。

研究满足上一问条件的最小 $k$⁠。

设 $\mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换。证明存在 $1\le k\le n$⁠，使 $V/\mathrm{Im}({\mathcal{A}}^k)\cong \ker ({\mathcal{A}}^k).$

若矩阵 $A$ 满足 $A=A^T=A^2$⁠，则称 $A$ 为投影矩阵。证明：$A$ 为投影矩阵，当且仅当存在列满秩矩阵 $B$⁠，使 $A=B(B^{T}B{)}^{-1}{B}^T.$

求可逆实矩阵 $A$ 的奇异值分解。

设 $A$ 为 $n$ 阶可逆实矩阵。证明存在正交矩阵 $Q$ 和方阵 $D$⁠，使 $Q^{T}A{A}^{T}Q=D^2.$

设 $B=\left(\begin{array}{cc}A& A\\ A& A\end{array}\right),$ 求 $B$ 的 Jordan 标准形。

设 $k\in {\mathbb{N}}_{+}$⁠，求 $A^k$ 的 Jordan 标准形。

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right).$ 求 $A$ 的 Jordan 标准形。

判断是否有 $\ker \mathcal{A}\oplus \mathrm{Im}\mathcal{A}$⁠。