数学专业考研真题，按学校、年份和知识点标签整理。
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设 f(x),g(x) 为数域 P 上的多项式，且 (f,g)=1。设 V,V1,V2 分别为 f(A)g(A)X=0,f(A)X=0,g(A)X=0 的解空间。证明 V=V1⊕V2。
已知实矩阵 A 满足 A2=A。证明存在实对称矩阵 B 及正定矩阵 C，使 A=BC。
设 A 是线性空间 V 上的线性变换。证明 ImA2=ImA 当且仅当 kerA2=kerA.
设 f(x)=x3+ax2+bx+c 为整系数多项式，且 (a+b)c 为奇数。证明 f(x) 在有理数域上不可约。
设 α1,…,αn 为矩阵 An×n 的列向量，β=α1+⋯+αn，且 α1,…,αn−1 线性相关。证明线性方程组 AX=β 有无穷多解。
设 f(x),g(x) 不全为零。证明：对任意正整数 n， (fn(x),gn(x))=(f(x),g(x))n.
设矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=(λ−2)3(λ−3)2. 若不计 Jordan 块的排列顺序，求 A 的所有可能 Jordan 标准形。
设 V 是三维欧氏空间，基 α1,α2,α3 的度量矩阵为 A=1−11−120104. 求一组用 α1,α2,α3 表示的标准正交基。
已知 α1=(1,2,1,0)T, α2=(−1,1,1,1)T, α3=(0,3,2,1)T, V1=span{α1,α2,α3}，以及...
设 an=0，且 limn→∞n(1−anan+1)=p>1. 证明 ∑n=1∞an 绝对收敛。
证明 f(x)=∑n=0∞n!sin(2nx) 在 R 上有任意阶导数，但不能在 R 上展开为幂级数。
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若 f 在 [a,b] 上连续可微，证明 maxx∈[a,b]f(x)≤b−a1∫abf(x)dx+∫ab∣f′(x)∣dx.
