考研真题

求参数 $a,b$ 使线性方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1,\\ 2x_1+x_2-4x_5=a,\\ x_1+2x_2+3x_3+3x_4+7x_5=4,\\ 5x_1+4x_2+3x_3+3x_4-x_5=b\end{array}$ 有解，并求通解。

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设二阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为2和3，且 $(1,1{)}^T$ 是特征值2的特征向量。求 $A$⁠。

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 1\\ 1& 1& 2\\ 0& 0& 5\end{array}\right),$ 求 $A^{2024}$⁠。

计算 $D_n=\det (a+x_i^j{)}_{1\le i,j\le n}.$

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计算 ${\int }_{L}ydx+zdy+xdz,$ 其中 $L$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与平面 $x+y+z=1$ 的交线，从 $x$ 轴正向看去取逆时针方向。

证明半径为 $R$ 的球体积为 $4\pi R^3/3$⁠。

设 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上一致连续，$g$ 连续，且 $f(x)-g(x)\to 0$⁠。证明 $g$ 一致连续。

设 $f$ 在 $[1,+\infty )$ 上连续、恒正且单调递减，记 $a_n={\sum }_{k=1}^{n}f(k)-{\int }_1^{n}f(x)dx.$ 证明 $a_n$ 收敛。

利用闭区间套定理证明确界原理。

已知 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上二阶可导，$f^{\prime \prime }(x)\le 0$⁠，且 ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{2x}=2.$ 证明 $f(x)\le 4x$⁠。

设 $a_n>0$ 且严格递减。证明 $\lim a_n=0$ 的充要条件是 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)$ 发散。

设有界函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的不连续点全体为 $\{x_n:n\ge 1\}$⁠，且 $x_n\to a$⁠。证明 $f$ 黎曼可积。