考研真题

求上述 $\mathcal{A}$ 的特征值、特征向量、$\ker \mathcal{A}$ 与 $\mathrm{Im}\mathcal{A}$⁠。

设 $V=\mathbb{R}[x{]}_n$ 为次数小于 $n$ 的实系数多项式空间，定义 $\mathcal{A}(f)=x{f}^{\prime }(x)-f(x).$ 证明 $\mathcal{A}$ 是线性变换。

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\in {\mathbb{R}}^n$ 线性无关，$n\ge 3$⁠。判断 ${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,\dots ,{\alpha }_{n-1}+{\alpha }_n,{\alpha }_n+{\alpha }_1$ 是否线性无关。

设 $A$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶矩阵。证明：若 $A$ 与所有矩阵可交换，则 $A$ 是纯量阵。

设 $A$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶矩阵。证明：若 $A$ 与所有对角阵可交换，则 $A$ 是对角阵。

证明：有理数域上存在任意次数的不可约多项式。

证明：实数域上任意正次数多项式均可分解为一次或二次多项式的乘积。

自然数集是否可以构成有理数域上的二维线性空间？说明理由。

设 $V$ 为数域 $F$ 上的线性空间，$W$ 为集合，$f:V\to W$ 为双射。证明可在 $W$ 上定义 $F$-线性空间结构。

设 $\sigma$ 为 $n$ 维线性空间上的线性变换，$\lambda$ 的代数重数为 $k$⁠。令 $W=\ker (\lambda I-\sigma {)}^k.$ 证明 $\dim W=k$⁠。

设 $f$ 为任意实二次型。证明存在正定二次型 $g$ 与负定二次型 $h$⁠，使 $f=g+h$⁠。

设 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ 为整系数多项式，且 $ac+bc$ 为奇数。证明 $f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。