考研真题

设 $f$ 在 $[0,2]$ 上存在三阶连续导数，且 $f(0)=f(1)=f(2)=0$⁠。证明：对任意 $x\in (0,2)$⁠，存在 $\xi \in (0,2)$⁠，使 $f(x)=\frac{1}{6}x(x-1)(x-2)f^{(3)}(\xi ).$

证明 ${\int }_0^{+\infty }\frac{x}{1+x^6{\sin }^{2}x}dx$ 收敛。

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求曲线 $\{\begin{array}{l}x+y-z=2,\\ z^2=x^2+y^2\end{array}$ 上距原点最近的点。

设 $C$ 为 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2},x=y$ 的交线，方向由 $(a/\sqrt{2},a/\sqrt{2},0)$ 到 $(-a/\sqrt{2},-a/\sqrt{2},0)$⁠。计算 ${\int }_C(z^3+3x^{2}y)dx+(x^3+3y^{2}z)dy+(y^3+3z^{2}x)dz.$

已知 $y=f(x,t)$⁠，其中 $t$ 由 $F(x,y,t)=0$ 确定为关于 $x,y$ 的隐函数，且 $f,F$ 有连续一阶偏导数。求 $dy/dx$⁠。

证明含参反常积分 ${\int }_0^{+\infty }\sqrt{y}{e}^{-y{x}^2}dx$ 在 $y\in (0,+\infty )$ 上不一致收敛。

求极限 ${\lim }_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{\cot x}{x}\right).$

设 $a,b>0$⁠，求 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2x+18y$ 所围成的面积。

设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续可微，定义 $g(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)-f(y)}{x-y},& x\ne y,\\ f^{\prime }(x),& x=y.\end{array}$ 证明 $g$ 在 ${\mathbb{R}}^2$ 上连续。

证明 $\sin (x^2)$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续。

当 $x\to x_0$ 时，$\alpha =o(1)$⁠。证明 $(1+\alpha {)}^{1/\alpha }-e=-\frac{e}{2}\alpha +o(\alpha ).$

已知 $a_n=\sqrt[n]{2022^n+(-2023{)}^n},n=1,2,\dots ,$ 求 $\mathrm{limsup}{a}_n$ 和 $\mathrm{liminf}{a}_n$⁠。