考研真题

设 $f(x)=\frac{1}{4}x(2\pi -x),x\in [0,2\pi ].$ 将 $f$ 展开为 $[0,2\pi ]$ 上的 Fourier 级数，并计算 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}.$

在上一问条件下，若 $g$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续，证明 $\{g(f_n(x))\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $g(f(x))$⁠。

设函数列 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上连续，并一致收敛于 $f$⁠。证明：存在 $M>0$⁠，使对任意正整数 $n$ 及 $x\in [a,b]$⁠，都有 $|f_n(x)|\le M,|f(x)|\le M.$

设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的三次多项式。证明 ${\int }_a^{b}f(x)dx=\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].$

设 $f(x)$ 为三次多项式，$x\in [-1,1]$⁠。证明 Simpson 公式 ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=\frac{1}{3}[f(1)+4f(0)+f(-1)].$

计算 ${\lim }_{n\to \infty }{\prod }_{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n^2}\right).$

计算 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\sin \frac{1}{n^2}+\sin \frac{2}{n^2}+\cdots +\sin \frac{n}{n^2}\right).$

设 $f$ 在 $x=x_0$ 处可导。记 $x_n={\sum }_{k=1}^{n}f\left(x_0+\frac{k}{n^2}\right)-nf(x_0).$ 证明 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=\frac{1}{2}{f}^{\prime }(x_0).$

设 $0<p<1$⁠、$0<x_1<1/p$⁠，且 $x_{n+1}=x_n(1-p{x}_n).$ 证明 ${\lim }_{n\to \infty }n{x}_n=\frac{1}{p}.$

已知 $0<x_1<1$⁠，且 $x_{n+1}=x_n(1-x_n),n=1,2,\dots .$ 证明 ${\lim }_{n\to \infty }n{x}_n=1.$

设 $\sigma ,\tau$ 是欧氏空间 $V$ 上的两个线性变换，满足 $(\sigma \alpha ,\beta )=(\alpha ,\tau \beta ),\forall \alpha ,\beta \in V.$ 证明：$\sigma$ 的核是 $\tau$ 的值域的正交补空间。

仍取 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -2& 3& -1\end{array}\right).$ 若 $A$ 视为复数域上的矩阵，判断它是否可对角化。