考研真题

设 $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ 一阶连续可导，且对任意 $x,y\in (0,1)$⁠，有 $|f(x)-f(y)|\le |x-y{|}^2.$ 证明 $f$ 恒为常数。

判断上题函数在 $(0,0)$ 处是否可微，并详细说明。

对上题函数，求 $f$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数。

定义 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^3+x^{2}y+x{y}^2+2y^4}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$ 证明 $f$ 在 $(0,0)$ 连续。

计算曲线积分 ${\int }_C{x}^{2}ydx+(y-3)dy,$ 其中 $C$ 是顶点为 $(0,0),(0,1),(2,0),(2,1)$ 的长方形边界，方向为顺时针。

设 $f$ 在 $[0,\pi ]$ 上二阶连续可导，$f(\pi )=2$⁠，且 ${\int }_0^{\pi }[f(x)+f^{\prime \prime }(x)]\sin xdx=5.$ 求 $f(0)$⁠。

证明 ${\int }_0^1\frac{\ln (1-t)}{t}dt=-{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}.$

设函数列 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上满足：每个 $f_n^{\prime }(x)$ 存在；对某个 $x_0\in [a,b]$⁠，数列 $\{f_n(x_0)\}$ 收敛；并且 $\{f_n^{\prime }\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。证明 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。

判断级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 的敛散性。

计算 ${\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos \theta }{\cos \theta +\sin \theta }d\theta .$

已知 $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}{e}^x& x^2& 2\\ 1& 3x& 4x^2\\ 0& 5& e^{2x}\end{array}\right|,$ 求 $f^{\prime }(x)$⁠。

计算 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(1-\frac{3}{4n^2}\right)}^{n^2+4n+3}.$