考研真题

求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\pi }{n}{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{2+\cos (k\pi /n)}.$

数列 $a_1=\sqrt{3},a_{n+1}=\sqrt{3+a_n}$⁠。证明收敛。

求所有整数 $x$⁠，满足 $x\equiv 2(\mathrm{mod}5),x\equiv 1(\mathrm{mod}7),x\equiv 5(\mathrm{mod}11).$

设变换 $A$ 保持任意两向量内积。证明 $A$ 是正交变换。

两异面直线分别过 $a=(1,0,0{)}^T,b=(0,1,0{)}^T$⁠，方向为 $v=(2,3,4{)}^T,w=(4,3,2{)}^T$⁠。求最小距离。

用最小二乘法求距离点 $(-5,5),(-4,3),(-3,1),(-2,3),(-1,4)$ 最近的直线。

求过 $(4,0,0),(0,2,0),(1,0,1)$ 的平面。

给定列向量矩阵 $(v_1,v_2,v_3,v_4)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 0\\ 1& 0& 2& 0\\ 1& 0& 2& 1\end{array}\right),$ 求其张成空间的一组正交基。

判断 ${\int }_0^{\infty }x\sin (x^n)dx$ 的收敛与绝对收敛性。

单调函数列 $f_n$ 在 $[a,b]$ 逐点收敛到连续函数 $f$⁠。证明一致收敛。

上半椭球 $x^2/2+y^2/2+z^2=1$⁠。设 $\rho$ 为原点到切平面的距离，计算 ${\iint }_{\Sigma }z/\rho dS$⁠。

设 $D$ 是两条直线 $y=x$⁠、$y=4x$ 和两条双曲线 $xy=1$⁠、$xy=4$ 在第一象限围成的区域，边界 $\partial D$ 取逆时针方向。设 $F(u)$ 为 $\mathbb{R}$ 上的可导函数，$F^{\prime }(u)=f(u)$⁠，且 $f(u)$ 在 $\mathbb{R}$ 中连续。证明...

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