考研真题

设 $0<x_1<\frac{\pi }{2}$⁠，且 $x_{n+1}=\arctan (\sin x_n).$ 判断级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n^2$ 的敛散性。

设函数 $f$ 在 $(-1,1)$ 上连续。若对任意满足 $x_n<0<y_n$ 且 $x_n,y_n\to 0$ 的数列，极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}$ 都存在。证明 $f^{\prime }(0)$ 存在。

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设 $f$ 将有界闭区间 $I$ 映入自身，且对任意 $x\ne y$ 有 $|f(x)-f(y)|<|x-y|.$ 任取 $x_0\in I$⁠，定义 $x_{n+1}=f(x_n)$⁠。证明数列 $\{x_n\}$ 收敛。

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设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续且 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A$⁠，$g$ 在 $[0,1]$ 上 Riemann 可积。证明 ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{1}f(nx)g(x)dx=A{\int }_0^{1}g(x)dx.$

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设函数 $f$ 在 $(-1,0)\cup (0,1)$ 上二阶可导，在 $[-1,1]$ 上连续，并且 $f^{\prime \prime }$ 在 $(-1,0)\cup (0,1)$ 上有界。证明 $f^{\prime }(0)$ 存在。

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求极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{x\sin x+2\cos x-2}{x\sin x+\cos x-1}.$

将 $3x^2+3y^2+5z^2+2xy-2yz-2xz+2x+10y+6z+7=0$ 化简成标准型，写明使用的坐标变换，并说明是什么二次曲面。

求过原点且与椭圆柱面 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 相交于一个圆周的平面 $\alpha$ 的方程。

求单叶双曲面 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}-\frac{z^2}{4}=1$ 过点 $(3,4,2)$ 的两条直母线方程，并求它们的夹角。

填空题： 1. 已知 $v=(-1,1,0),w=(1,1,1)$⁠，求 $v\times (v\times (v\times (v\times w)))$⁠。 2. 设直线...

设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，$\alpha ,\beta$ 为 $n$ 维实列向量。证明： $({\alpha }^T\beta {)}^2\le ({\alpha }^{T}A\alpha )({\beta }^T{A}^{-1}\beta ),$ 等号成立当且仅当 $A\alpha$ 与 $\beta$ 线性相关。

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设 $T(X)=(X+X^T)/2$⁠。证明线性并求核与秩。