考研真题

设 $A$ 为 $n>2$ 阶实对称正定矩阵。证明 $A=I$ 当且仅当伴随矩阵 $A^{\ast }=A$⁠。

设 $F(x)={\prod }_{i=1}^n(x-a_i)$⁠，$a_i$ 两两不同，$l_i(x)=F(x)/[(x-a_i)F^{\prime }(a_i)]$⁠。证明 $l_i$ 无关、和为一，并表示任意次数小于 $n$ 的多项式。

求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\right)x^n$ 的收敛域与和函数。

设 $a_n$ 单调趋于零，证明 $\sum a_n\cos nx$ 在 $[\alpha ,2\pi -\alpha ]$ 上一致收敛。

设 $f\in C^3$⁠，$f^{\prime }(0)=1,f^{\prime \prime }(0)=0,f^{(3)}(0)=-1$⁠，且 $f(a_n)=a_{n+1}$⁠、$a_n\to 0$⁠。求 $\lim n{a}_n^2$⁠。

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设 $f$ 在 $[0,\pi ]$ 可积且 ${\int }_0^{\pi }f=\pi$⁠。求使 ${\int }_0^{\pi }{\left[f(x)-{\sum }_{k=1}^n{c}_k\cos kx\right]}^{2}dx$ 最小的系数，并说明极限和函数。

给定 $(-\pi /2,0]$ 上的可积函数，说明如何延拓到 $(-\pi ,\pi )$⁠，使 Fourier 级数仅含 $\sin ((2n-1)x)$⁠。

计算抛物面 $z=1-x^2-y^2,z\ge 0$ 取外侧的第二型曲面积分 ${\iint }_{\Gamma }(y^2-x)dydz+(z^2-y)dzdx+(x^2-z)dxdy.$

计算 ${\iint }_D(x+y)\sin (x-y)dxdy,D=\{0\le x+y\le \pi ,0\le x-y\le \pi \}.$

设 $f\in C^1[0,1]$⁠，$f(0)=0$⁠。证明 ${\int }_0^1|f^{\prime }(x)f(x)|dx\le \frac{1}{2}{\int }_0^1|f^{\prime }(x){|}^{2}dx.$

用闭区间套定理证明 $[0,1]$ 不可数。

计算： $(1){\lim }_{x\to 1}{x}^{1/(1-x)},(2){\lim }_{n\to \infty }\frac{1+2^3+\cdots +n^3}{n^4}.$