考研真题

设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 2\\ 2& 0& 2& 1\\ 3& 1& 4& 0\end{array}\right).$ 求方程 $(x_1,x_2,x_3,x_4)A^{T}A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)=0$ 的全部实解。

设 $A=J_3(\lambda )$⁠。证明与 $A$ 可交换的矩阵是 $A$ 的多项式。

设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，且 ${\beta }_1=2{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\beta }_2=-{\alpha }_1+3{\alpha }_2+4{\alpha }_3,{\beta }_3={\alpha }_1+{\alpha }_3.$ 判断...

设 $n\ge 2$⁠，求行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}{a}_1+b_1& a_1+b_2& \cdots & a_1+b_n\\ a_2+b_1& a_2+b_2& \cdots & a_2+b_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_n+b_1& a_n+b_2& \cdots & a_n+b_n\end{array}\right|,$ ...

计算三重积分 ${\iiint }_{x^2+y^2+z^2\le 2z}\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}+x-y^3\right)dV.$

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计算单位球面外侧通量 ${\iint }_{\Sigma }\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(2x^2+2y^2+z^2{)}^{3/2}}.$

设 $f(x,y)=g(|xy|)$⁠，$g(0)=0$⁠，且 $|g(z)|\le z^{\alpha }$($\alpha >1/2$)。证明 $f$ 在原点可微。

求函数 $f(x,y)=-x^{2}y(x+y-4)$ 在由 $x$ 轴、$y$ 轴及直线 $y=6-x$ 围成的闭区域 $D$ 中的极值、最大值与最小值。

判断 ${\int }_2^{\infty }\frac{\sin x}{\ln x}\arctan xdx$ 的敛散性。

若 $f(x)\to A$⁠，证明 $x^{-1}{\int }_0^{x}f(t)dt\to A$⁠。

求 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(n+1)(n+2)}{n!}{x}^n.$

已知 $f$ 在 $[0,2]$ 上可导，$f(0)=0$⁠，且 $f^{\prime }(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续。证明 ${\int }_0^2|f(x)f^{\prime }(x)|dx\le {\int }_0^2|f^{\prime }(x){|}^{2}dx.$