考研真题

求极限 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{2}{3}\right)\cdots \left(1+\frac{n-1}{n}\right)}.$

设 $V,W$ 为有限或无限维线性空间，$V^{\prime },W^{\prime }$ 为对偶空间，$T\in L(V,W)$⁠，$T^{\prime }\in L(W^{\prime },V^{\prime })$⁠。证明：$T$ 满射的充要条件是 $T^{\prime }$ 单射。

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在 $n$ 维欧氏空间中，两两内积为负的非零向量个数至多是多少？证明。

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设 $\phi$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的线性变换。证明：$\phi$ 为正规算子的充要条件是存在复系数多项式 $f(x)$⁠，使 ${\phi }^{\ast }=f(\phi ).$

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证明 $A^2=I$ 的充要条件是 $r(A+I)+r(A-I)=n.$

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设 $N=J_{10}(0)$⁠。 1. 求 $N^3$ 的 Jordan 标准形 $J$⁠； 2. 求置换矩阵 $P$ 使 $P^{-1}{N}^{3}P=J$⁠，用标准单位列向量表示； 3. 对一般 $J_n(0{)}^k$ 给出 Jordan 标准形。

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设 $A=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 1\\ 1& 4& 1\\ 1& 1& 4\end{array}\right).$ 1. 求特征多项式、特征值； 2. 求正交矩阵 $P$ 使 $P^{T}AP$ 为对角阵； 3. 将 $4x_1^2+4x_2^2+4x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3$ 化为标准形。

求矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}2& 0& 3& 7\\ 2& 0& -3& -7\\ 2& 0& -3& 7\\ 2& 0& -3& -7\end{array}\right)$ 的行空间、列空间、零空间、左零空间的一组基。

证明 $x^p+px-p+1$ 在有理数域上不可约，其中 $p$ 为奇素数。

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设曲面 $\Omega :x^4+y^4+z^4=1$⁠，$V$ 是其所围区域体积。证明 $V=\frac{1}{3}{\iint }_{\Omega }\frac{dS}{\sqrt{x^6+y^6+z^6}}.$

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设 $f$ 是 $[a,b]$ 上连续且严格递增的函数，$f(a)=\alpha ,f(b)=\beta$⁠。证明 $f$ 的值域为 $[\alpha ,\beta ]$⁠，且反函数 $x=f^{-1}(y)$ 连续。

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设 $f$ 为非负连续函数。对 $t\in [0,T)$⁠，存在 $b,\tau >0$ 使 $\frac{1}{\tau }{\int }_t^{t+\tau }f(s)ds\le b.$ 证明对任意 $a>0$⁠， ${\int }_0^t{e}^{-a(t-s)}f(s)ds\le \frac{b\tau }{1-e^{-a\tau }},0<t<T.$

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