考研真题

证明级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^2+n}{n^2}$ 在 $x\in [a,b]$ 上一致收敛，但对任意 $x$ 都不绝对收敛。

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计算： 1. $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^5+2^5+\cdots +n^5}{n^6}$⁠； 2. $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n+1)!}$⁠； 3. $\Sigma$ 为圆柱面 $x^2+y^2=1$ 在 $z=0$ 与 $z=1$ 之间的部分，计算...

设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$H$ 为 $n$ 阶实对称正定矩阵。证明存在正交矩阵 $P$⁠，使 $(H^T+I)A^{T}A(I+H)-P^T{A}^{T}AP$ 为实对称矩阵。

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设 $f$ 为 $V$ 上实对称双线性函数，正、负惯性指数分别为 $1,n-1$⁠。 1. 若 $f(\alpha ,\alpha )>0$⁠、$f(\alpha ,\beta )=0$⁠，证明 $f(\beta ,\beta )\le 0$⁠，等号当且仅当 $\beta =0$⁠； 2. 若...

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设 $V$ 是由 ${\mathbb{C}}^{n\times n}$ 中所有置换矩阵张成的子空间，求 $\dim V$⁠。

设 $V,W$ 为数域上的非零向量空间，$V$ 有限维，${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in V$⁠。若对任意 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\in W$⁠，都存在唯一线性映射 $\phi :V\to W$ 使 $\phi ({\alpha }_i)={\beta }_i,$ 证明...

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设自治系统 $\dot{x}=f(x,y),\dot{y}=g(x,y),f(0,0)=g(0,0)=0.$ 1. 叙述李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、不稳定的概念； 2. 判断系统 $\dot{x}=x^5+y^3,\dot{y}=-x^3-y^3$ 的原点稳定性。

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常系数方程 $y^{(4)}+a_2{y}^{\prime \prime }+a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0$ 的两个解为 $\cos 4x$ 与 $\sin 3x$⁠。确定方程并求通解。

设 $f$ 为实连续函数，求解微分方程 $xf(x^2+y^4)dx+2y^{3}f(x^2+y^4)dy=0.$

求使级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{n}\csc \frac{1}{n}-1\right)}^{2025p}$ 收敛的 $p$ 的取值范围。

设 $\alpha >\beta >1$⁠，判断 ${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{1+x^{\alpha }|\sin x{|}^{\beta }}$ 的敛散性。

填空题： 1. $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1+\sqrt[n]{2025}}{2}\right)}^n$⁠； 2. $\int \frac{1+\sin x}{1+\cos x}{e}^{x}dx$⁠； 3. $f$ 定义在 $(0,1)$⁠，满足...