考研真题

求幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ 的收敛半径、收敛点集和和函数。

解答下列问题： 1. 证明： $e^{-x}+e^x>x^2-2,x\ne 0;$ 2. 若 $f(x)$ 连续，且 ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(5x)-f(x)}{x}=3,$ 证明 $f$ 在 $0$ 处可导，且 $f^{\prime }(0)=\frac{3}{4}.$

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解答下列问题： 1. 若多项式有不同的复根且重数不同，是否可以只用 Euclid 辗转相除法求出其全部复根？ 2. 设 $SL(2,\mathbb{Z})$ 为行列式为 $1$ 的二阶整数矩阵群。对有限阶矩阵 $A$⁠，令 $o(A)$ 为满足 $A^{o(A)}=I_2$ 的最小正整数。求可能阶数集合...

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线性变换 $\sigma$ 在基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4$ 下的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& -1& 1\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right).$ 1. 求特征子空间； 2. 求...

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解答下列问题： 1. 设 $M$ 为 $n$ 阶方阵，$M^{\ast }\ne O$⁠，且 $MX=\beta$ 有两个不同的解 ${\gamma }_1,{\gamma }_2$⁠，求一个通解； 2. 设 $\alpha$ 为 $n$ 维列向量，${\alpha }^T\alpha =2024$⁠，求...

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设 $a\in \mathbb{R}$⁠， $A=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 1& 1\end{array}\right).$ 若存在正交矩阵 $P$⁠，使 $P^{-1}AP$ 为实上三角矩阵，求 $a$ 的取值范围。

设 $A=\left(\begin{array}{cc}5& 5\\ 6& 6\end{array}\right).$ 求满足 $AB+BA=ABA$ 的所有二阶复矩阵 $B$⁠。

实数序列满足 $x_0=1,x_1=12,x_2=-10,$ 以及 $x_{n+3}+30x_n=31x_{n+1}(n\ge 0).$ 求通项公式。

设实数 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 满足 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1.$ 求 $y=x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_4+x_4{x}_1-2(x_1{x}_3+x_2{x}_4)$ 的取值范围。

设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵。证明：非齐次线性方程组 $AX=\beta$ 有解的充分必要条件是齐次方程组 $A^{T}Y=0$ 的任意解 $\alpha$ 都满足 ${\alpha }^T\beta =0$⁠。

讨论参数 $\lambda$ 取何值时，下列方程组有解，并求解： $\{\begin{array}{l}{x}_1+\lambda x_2+\lambda x_3+x_4=0,\\ 2x_1+x_2+x_3+2x_4=0,\\ 3x_1+(\lambda +2)x_2+(\lambda +4)x_3+4x_4=1.\end{array}$

设 $p(x)$ 是数域 $F$ 上次数至少为 $1$ 的多项式。证明下列命题等价： 1. $p(x)$ 不可约； 2. 对任意 $f,g\in F[x]$⁠，若 $p\mid fg$⁠，则 $p\mid f$ 或 $p\mid g$⁠； 3. 对任意 $f\in F[x]$⁠，都有 $p\mid f$ 或...