考研真题

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，$f(a)=0$⁠，且对每个 $x\in (a,b)$ 有 $f(x)>0$⁠。证明不存在常数 $M>0$⁠，使 $\left|\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right|\le M,x\in (a,b).$

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，积分中值公式写为 ${\int }_a^{x}f(t)dt=f(\xi )(x-a),a\le \xi \le x\le b.$ 若右导数 $f_{+}^{\prime }(a)$ 存在且非零，求 ${\lim }_{x\to a+}\frac{\xi -a}{x-a}.$

设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的二阶可导函数，$f(a)=f(b)=0$⁠，且存在 $c\in (a,b)$ 使 $f(c)>0$⁠。证明存在 $\xi \in (a,b)$⁠，使 $f^{\prime \prime }(\xi )<0.$

在上题条件下，证明 $g_n$ 的所有根都是实数。

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定义 $g_n(x)=e^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-x^2}\right).$ 证明 $g_n$ 是 $n$ 次多项式。

设 $y(x)=\sqrt{x+\sqrt[3]{x+\sqrt[4]{x}}}.$ 求其导数，计算 ${\lim }_{x\to \infty }\left(\sqrt{x+\sqrt[3]{x+\sqrt[4]{x}}}-\sqrt{x}\right),$ 并判断 $y$ 在其定义域上是否一致连续。

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设 $f$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，$|f^{\prime \prime }(x)|\le M$⁠，并且 $f$ 在 $(0,a)$ 上取得最大值。证明 $|f^{\prime }(0)|+|f^{\prime }(a)|\le Ma.$

在上题条件下，证明 $f$ 在 $(0,1)$ 上连续。

设 $f$ 是 $(0,1)$ 上的函数，且 $e^{x}f(x)$ 与 $e^{-f(x)}$ 在 $(0,1)$ 上均单调不减。证明 $f$ 在 $(0,1)$ 上单调递减。

设函数 $f$ 在 $a$ 的邻域内有定义，在 $a$ 处可导且 $f(a)>0$⁠。计算 ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x{)}^{f(x)}-f(a{)}^{f(x)}}{x-a}.$

在上题条件下，证明数列 $\{x_n\}$ 收敛。

数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=0,x_{n+1}=\cos x_n(n\ge 1).$ 证明 $\{x_{2n}\}$ 与 $\{x_{2n-1}\}$ 均单调。