考研真题

设 $f$ 在 $[2,+\infty )$ 上满足 Lipschitz 条件，即存在 $k>0$⁠，使 $|f(x)-f(y)|\le k|x-y|,x,y\in [2,+\infty ).$ 证明 $f(x)/x$ 在 $[2,+\infty )$ 上一致连续。

设 $f(x,y)$ 在 $[0,1]\times [0,1]$ 上连续，定义 $g(x)={\sup }_{y\in [0,1]}f(x,y),x\in [0,1].$ 证明 $g$ 在 $[0,1]$ 上连续。

设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上仅有第一类间断点。证明 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。

计算 ${\lim }_{x\to 0}\frac{(x+2{)}^x-2^x}{x\sin x}.$

计算 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^3\arctan x}.$

计算 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{\ln (n+1)-\ln n}-n\right).$

设 $p>0$⁠，计算 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1^p+2^p+\cdots +n^p}{n^{p+1}}.$

设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，$g$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续且有界。证明 $f\circ g$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。若去掉“$g$ 有界”，判断结论是否仍成立；若不成立，给出反例。

设 $m>1$⁠，求 ${\lim }_{x\to +\infty }\left(\sqrt[m]{x^m+x^{m-1}}-\sqrt[m]{x^m-x^{m-1}}\right).$

设 $\{b_n\}$ 是正的严格递增数列，且 $b_n\to +\infty$⁠。证明 ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}\le {\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}},$ 其中假设右端上极限存在(允许为扩展实数)。

计算 ${\lim }_{x\to 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right).$

设 $f$ 在 $x=a$ 处可微，且 $f(a)\ne 0$⁠。求 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{f(a+1/n)}{f(a)}\right)}^n.$