考研真题

求使不等式 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+\alpha }>e$ 对所有正整数 $n$ 都成立的最小实数 $\alpha$⁠。

设 $y=y(x)$⁠、$z=z(x)$ 由方程组 $\{\begin{array}{l}z=x^2+y^2,\\ x^2+2y^2+3z^2=1\end{array}$ 隐式确定，求 $dy/dx$ 与 $dz/dx$⁠。

设 $f\in C^2[0,1]$⁠，且 $|f^{\prime \prime }(x)|\le M$⁠。若 $f$ 在 $(0,1)$ 内取得最大值，证明 $|f^{\prime }(0)|+|f^{\prime }(1)|\le M.$

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f(0)=f(1)=0,{\min }_{x\in [0,1]}f(x)=-1.$ 证明存在 $\xi \in (0,1)$⁠，使 $f^{\prime \prime }(\xi )\ge 8$⁠。

设 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上可导，且 $f(x)=f(x+2k)=f(x+b),$ 其中 $k$ 为正整数，$b$ 为正无理数。利用傅里叶级数理论证明 $f$ 为常数。

问是否存在 $[0,5]$ 上的函数 $f$ 满足： 1. $f$ 连续可微； 2. $f(0)=f(5)=1$⁠； 3. $|f^{\prime }(x)|<2/5$⁠； 4. $\left|{\int }_0^{5}f(x)dx\right|\le 5/2$⁠。 说明理由。

设 $z=z(x,y)$ 由 $z=x+y\phi (z)$ 隐式确定，且 $u=f(z)$⁠。计算 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{\partial }{\partial x}\left[{\phi }^2(z)\frac{\partial u}{\partial x}\right].$ ...

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设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 上二阶可导，$f(0)=f(1)=1$⁠，且 $f^{\prime \prime }(x)<8.$ 证明对任意 $x\in [0,1]$⁠，有 $f(x)>0$⁠。

定义 $\phi (x)=\{\begin{array}{ll}\sin x,& x\ge 0,\\ \cos x,& x<0.\end{array}$ 证明：不存在 $\mathbb{R}$ 上的可微函数 $f$⁠，使对任意实数 $x$ 都有 $f(f(x))=|x|f^{\prime }(x)=\phi (x).$

设 $\alpha \in \mathbb{R}$⁠，定义 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{\alpha }\cos \frac{1}{x},& x>0,\\ 0,& x=0.\end{array}$ 已知 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上一致连续，求 $\alpha$ 的取值范围。

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设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上可导，值域也包含于 $[0,1]$⁠，并且存在 $0<\theta <1$⁠，使 $|f^{\prime }(x)|\le \theta .$ 证明方程 $f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 上存在唯一解。

设 $f$ 是 $(0,+\infty )$ 上的凸函数。证明 $F(x)=\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt$ 是 $(0,+\infty )$ 上的凸函数(假定积分存在)。