考研真题

证明： 1. 若 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 ${\left[{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\right]}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)dx{\int }_a^b{g}^2(x)dx;$ 2. 利用 Schwarz 不等式证明：若 $f$ 是 $[a,b]$ 上的非负连续函数，且...

设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数。 1. 计算 ${\int }_0^{2\pi }|\sin x|dx$⁠； 2. 计算 ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_a^b|\sin nx|dx;$ 3. 确定常数 $c$⁠，使...

计算 ${\int }_0^{+\infty }(x+1)e^{-x^2}dx.$

证明： 1. 若 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 ${\left({\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\right)}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)dx{\int }_a^b{g}^2(x)dx;$ 2. 若 $f\in C^1[a,b]$ 且 $f(a)=0$⁠，则...

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，$f(0)=0$⁠，且对每个 $x\in (0,1)$ 有 $f(x)\ne 0$⁠。证明：对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$⁠，存在 $\xi \in (0,1)$⁠，使...

设 $f$ 定义在 $(0,+\infty )$ 上，且对任意 $x,y>0$ 都有 $f(xy)=f(x)+f(y).$ 若 $f^{\prime }(1)$ 存在，求 $f^{\prime }(x)$⁠。

设 $f,g$ 在 $(a,b)$ 上连续可导，且 $f^{\prime }(x)g(x)-g^{\prime }(x)f(x)>0.$ 证明：$f$ 的相邻两个零点之间必有 $g$ 的零点。

设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上二次可微，且对任意 $h>0$⁠，有 $f(x)\le \frac{1}{2}(f(x+h)+f(x-h)).$ 证明 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$⁠。

已知 $f$ 在 $(a,+\infty )$ 上可导，且 ${\lim }_{x\to a+}f(x)={\lim }_{x\to \infty }f(x).$ 证明存在 $c\in (a,+\infty )$⁠，使 $f^{\prime }(c)=0$⁠。

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f(a)=f(b)=0$⁠。证明 ${\max }_{x\in [a,b]}|f(x)|\le \frac{1}{8}(b-a{)}^2{\max }_{x\in [a,b]}|f^{\prime \prime }(x)|.$

求 $f(x)=\frac{x^2}{(1+x^2{)}^2}$ 的幂级数展开式。

已知 $f\in C^3[-1,1]$⁠，$f(-1)=0$⁠、$f(1)=1$⁠、$f^{\prime }(0)=0$⁠。证明存在 $\xi \in (-1,1)$⁠，使 $f^{(3)}(\xi )=3.$

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