考研真题

设 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上的连续函数，且当 $x\ne 0$ 时 $|f(x)|<|x|$⁠。定义 $f_1(x)=f(x),f_{n+1}(x)=f(f_n(x)).$ 证明 $\{f_n(x)\}$ 在任意有限区间 $[-a,a]$ 上一致收敛于 $0$⁠。

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判别下列级数的敛散性： 1. $\sum _{n=1}^{\infty }2022^n\sin \frac{\pi }{2023^n}$⁠； 2. $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{2^n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n^2}$⁠。

设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内具有二阶连续导数，且 ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0.$ 证明 ${\sum }_{n=1}^{\infty }f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。

设 $\{a_n\}$⁠、$\{b_n\}$ 均不为零，且 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}=1.$ 若 $\sum a_n$ 收敛，问 $\sum b_n$ 是否必收敛。

设 $f_n(x)=x{n}^{-x},n=1,2,3,\dots$ 问 $\{f_n\}$ 在 $[0,+\infty )$ 上是否一致收敛，并说明理由。

设 $f_n(x)={\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^n.$ 说明 $\{f_n\}$ 在 $(0,1)$ 上的一致收敛性。

证明级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\sqrt{\ln \frac{n+1}{n}}\right)$ 收敛，并且其和小于1。

求幂级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^2{x}^{n-1}$ 的收敛域及和函数。

证明数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\cos \left(\pi \sqrt{n^2+n}\right)\arcsin \frac{n}{n+1}$ 条件收敛。

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1. 将 $f(x)=\cos ax$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上展开为 Fourier 级数，并证明 $\frac{\pi }{\sin a\pi }=\frac{1}{a}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{2a}{a^2-n^2};$ 2. 证明...

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设 $f$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数，令 $f_n(x)={\int }_0^{x}f(t^n)dt,x\in [0,1].$ 证明 $\{f_n\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。

讨论级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{nx}{1+n^5{x}^2}$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上的一致收敛性。