数学专业考研真题，按学校、年份和知识点标签整理。
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设 f(x) 是 R 上周期为 2π 的二阶连续可微函数。证明：f 的 Fourier 级数在 R 上一致收敛于 f。
当 x∈R 时，讨论级数 ∑n=1∞n(−1)nxn 的收敛集合并证明。再讨论 x∈C 的情形。
在 [0,π] 上令 f(x)=2π2−x2. 将 f 展开为 [−π,π] 上的余弦级数，并求 ∑n=1∞n2(−1)n−1.
设 an>0，且 ∑n=1∞an 收敛，令 rn=∑m=n∞am. 1. 证明 ∑an/rn 发散； 2. 证明 ∑an/rn 收敛。
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设可微函数列 {fn} 在 [a,b] 上逐点收敛，且 {fn′} 在 [a,b] 上一致有界。证明 {fn} 在 [a,b] 上一致收敛。
计算 I=∬Sx3dydz+y3dzdx+z3dxdy, 其中 S 是球面 (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2 的外侧。
计算 ∬Σ(y−2z)dydz+zdxdy, 其中 Σ 为曲面 x2+y2+z2=2z,0≤z≤1, 法向量与 z 轴正向的夹角为锐角。
计算 ∬S(xy2+z3)dydz+(yz2+x3)dzdx+(zx2+a3)dxdy, 其中 S 为上半球面 z=a2−x2−y2,a>0, 方向向上。
计算 ∬Σ(x+y+z)dS, 其中 Σ 为单位球面 x2+y2+z2=1 的上半部分。
求 ∬Σx2dydz, 其中 Σ:(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=1, 方向取外侧。
对于 Dirichlet 级数 ∑n=1∞nxan, 若级数在 x=x0 处收敛，证明该级数在 [x0,+∞) 上一致收敛；特别地，在 x>x0+1 时绝对收敛。
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求第二型曲面积分 I=∬Σ(x2+y2+z2)3/23xdydz+(z+3)2dxdy, 其中 Σ 为下半球面 z=−9−x2−y2, 方向为上侧。
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