考研真题

设 $f\in C^1[0,+\infty )$⁠，$f(0)>0$⁠，且 $f^{\prime }(x)\ge 0$⁠。证明：若 ${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{f(x)+f^{\prime }(x)}$ 收敛，则 ${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{f(x)}$ 也收敛。

求 $F(\alpha )={\int }_0^{+\infty }\frac{\ln (1+x^{5/2})}{x^{\alpha }}dx$ 的连续区间。

计算积分 ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-px}\frac{\sin bx-\sin ax}{x}dx,p>0,b>a>0.$

证明广义积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx$ 条件收敛。

设 $f(x)$ 是 $[a,+\infty )$ 上的非负连续函数，且 $f^{\prime }$ 可导并具有连续导函数。若存在 $r>1$⁠，使 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}\le -r,$ 证明反常积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛。

设 $x,t>0$⁠，求含参变量积分 $I(t)={\int }_0^{+\infty }\frac{e^{-x}-e^{-xt}}{x}dx.$

设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上可导且导数处处连续，反常积分 ${\int }_0^{+\infty }{f}^2(x)dx,{\int }_0^{+\infty }[f^{\prime }(x){]}^{2}dx$ 都收敛。证明 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=0$⁠。

确定含参量积分 $g(\alpha )={\int }_0^{+\infty }\frac{\ln (1+x^3)}{x^{\alpha }}dx$ 的连续区间与收敛区间。

考虑含参数的反常积分 $I(\alpha )={\int }_1^{+\infty }\sin x{e}^{-\alpha x}dx.$ 证明该反常积分在 $\alpha \in (0,1]$ 上不是一致收敛的。

证明广义积分 ${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx$ 条件收敛。

已知 $\alpha >0$⁠，证明： 1. $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n^{\alpha }}$ 关于 $x$ 在 $(0,2\pi )$ 上内闭一致收敛； 2....

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计算级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(2n+1)2^{2n+1}}.$