考研真题

计算级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{2^n}.$

设幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛半径为1，左极限 ${\lim }_{x\to 1-}{\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=A$ 存在，且 $n{a}_n\to 0$⁠。证明 $\sum a_n$ 收敛且和为 $A$⁠。并举例说明，若去掉 $n{a}_n\to 0$⁠，结论未必成立。

需要 Lv.3 才能查看参考答案并使用学习功能

若 $p>1$⁠，证明数项级数 ${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{\sin \left(2\pi \sqrt{n^2+1}\right)}{{\ln }^{p}n}$ 收敛。

求周期延拓函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\in [-\pi ,0),\\ 0,& x\in [0,\pi )\end{array}$ 的 Fourier 级数的和函数 $S(x)$⁠。

若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，证明 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{n^x}$ 在 $[0,+\infty )$ 上一致收敛。

设幂级数 $f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 在 $[0,1]$ 上收敛，$a_1\ne 0$⁠，且 $0\le f(x)\le x,$ 并且 $f(x)-x$ 不恒等于零。 1. 证明 $0<a_1\le 1$⁠； 2. 设 $0<x_0<1$⁠、$x_n=f(x_{n-1})$⁠。证明存在...

需要 Lv.3 才能查看参考答案并使用学习功能

设整函数幂级数 $f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{c}_n{x}^n$ 的收敛半径为 $\infty$⁠，其和函数是周期为 $2\pi$ 的奇函数，Fourier 级数为 $f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx.$ 证明： 1. $c_{2k}=0$⁠； 2. 对任意...

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

证明级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{n{e}^{x^2}+\sqrt{n}}{n^{3/2}}$ 在任意有界区间 $[a,b]$ 上一致收敛，但在任意一点 $x_0$ 处不绝对收敛。

设 $f(x)$ 是仅有正实根的多项式，且 $-\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}={\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n.$ 1. 证明 $c_n>0$⁠； 2. 证明极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{\sqrt[n]{c_n}}$ 存在，且等于 $f(x)$ 的最小根。

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

设 $\{a_n\}$ 是单调递减正整数列，且 ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }n{a}_n>0.$ 证明 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 发散。

设 $f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{e^{-nx}}{n^2+1},x\ge 0.$ 证明：$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 可导，且右导数 $f_{+}^{\prime }(0)$ 不存在。

计算 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n(n+3)}{2^n}.$