考研真题

利用 ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2},$ 计算 ${\int }_0^{+\infty }\frac{e^{-a^2{x}^2}-e^{-b^2{x}^2}}{x^2}dx,b>a>0.$

证明：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，则 ${\lim }_{p\to +\infty }{\int }_a^{b}f(x)\cos pxdx=0.$

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使用闭区间套定理证明聚点定理：实数轴上任一有界无限点集 $S$ 必有一个聚点。

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解答如下问题： (1) 求极限 ${\lim }_{x\to +\infty }\left(\sqrt{x^4+1}-(x^2-1)e^{1/x}\right).$ (2) 求幂级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n(n+1)2^n}$ 的收敛域与和函数。

用极限的严格数学定义证明： (1) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^2+x-1}{x^2}=1.$ (2) ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a}=1,a>1.$

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设 $A,B$ 是 $n$ 阶矩阵，且对任意非零 $V\in {\mathbb{R}}^n$⁠，$AV,BV$ 线性无关。证明： (1) $AB$ 可逆； (2) $n$ 是偶数。

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若 $g(x)$ 的各次系数的最大公因数为 $1$⁠，且 $g(x)\in \mathbb{Z}[x]$⁠，则称 $g(x)$ 是本原多项式。 (1) 设 $h(x)\in \mathbb{Z}[x]$⁠，$d(x)\in \mathbb{Q}[x]$⁠，$g(x)$ 是本原多项式。若 $h(x)=d(x)g(x),$ 证明...

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设二次型 $f(x)=2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3.$ (1) 求 $f(x)$ 的矩阵的特征值与特征向量。 (2) 求正交线性替换 $X=CY$⁠，使 $f(x)$ 为标准型。 (3) 求 $f(x)$ 在条件 $x_1^2+x_2^2+x_3^2=4$ 下的最大值。

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设 $\mathcal{A}$ 是 $3$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$V$ 中任意向量可由 $\alpha ,\mathcal{A}\alpha ,{\mathcal{A}}^2\alpha$ 线性表出，且...

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设在三维欧氏空间 ${\mathbb{R}}^3$ 中，$u,v,w\in {\mathbb{R}}^3$⁠，其长度分别为 $1,2,4$⁠，它们两两之间夹角为 $\pi /3$⁠。 (1) 直接写出 $u,v,w$ 的格拉姆矩阵...

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设 $12$ 维线性空间 $V$⁠，子空间 $U,W$ 的维数分别为 $3,4$⁠，则 $\dim (U^{\perp }\cap W^{\perp })$ 的最小值是 $\underline{}$⁠。

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若特征多项式为 ${\lambda }^3(\lambda -1{)}^4$ 的复矩阵按相似分类，可分为 $\underline{}$ 类。

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