考研真题

设 $P_m$ 是次数不超过 $m$ 的一元多项式空间，定义 $P_m$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$ 为 $\mathcal{A}(f(x))=f(x+1)-f(x).$ (1) 写出 $\mathcal{A}$ 关于基底 $1,x,\dots ,x^m$ 的矩阵 $A$⁠。 (2) 求 $A$ 的 Jordan...

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设线性变换 $\mathcal{A}:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ 在标准基下的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right).$ (1) 将二次型 $f(X)=X^{T}AX$ 化为标准形。 (2) 设...

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设 $n$ 阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& 1\\ 1& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right),$ ...

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设 $V$ 是复数域上以 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 为基底的线性空间，$\mathcal{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，且...

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设 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$⁠，$B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$⁠。 (1) 证明： $r(E_m+AB)-r(E_n+BA)=m-n.$ (2) 证明：当 $E_m+AB$ 可逆时，$E_n+BA$ 也可逆，并写出其逆矩阵。

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设数域 $F$ 上 $n$ 阶上三角矩阵集合为 S=\{A=(a_{ij})_{n\times n}\in M_n(F)\mid a_{ij}=0\ \text{当 }i>j\}. 求证： (1) $S$ 对矩阵加法和数乘封闭，因此是 $M_n(F)$ 的一个线性子空间。 (2) $S$ 对矩阵乘法封闭，即若...

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(1) 设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$⁠，$T$ 为所有元素均为 $t$ 的 $n$ 阶矩阵。证明： $|A+T|=|A|+tu,u={\sum }_{i,j=1}^n{A}_{ij},$ 其中 $A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式。 (2) 利用 (1) 的结论计算 $n$...

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设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上各阶可导，且存在 $M>0$⁠，使得 $|f^{(k)}(x)|\le M,\forall x\in (-\infty ,+\infty ),k=1,2,\dots .$ 若在无限有界集 $E$ 上 $f(x)=0$⁠，证明：在...

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设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 二阶可导，$f(x)$ 是 $(-\infty ,+\infty )$ 上的有界函数，证明：存在 $\xi \in (-\infty ,+\infty )$ 满足 $f^{\prime \prime }(\xi )=0.$

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应用高斯公式计算三重积分 ${\iiint }_V(xy+yz+zx)dxdydz,$ 其中 $V$ 是由 $x\ge 0,y\ge 0,0\le z\le 1,x^2+y^2\le 1$ 所确定的空间区域。

证明： $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty )$ 上一致连续。

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设函数 $z=z(x,y)$ 二阶偏导连续，试以 $u,v$ 作为新的自变量变换方程 $x^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}-y^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0,$ 其中 $u=xy,v=\frac{x}{y}.$

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