考研真题

如果 ${\mathbb{R}}^3$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$ 有三个互相正交的一维不变子空间，那么 $\mathcal{A}$ 一定是对称变换吗？为什么？

是否存在含无穷个 $n$ 维向量的集合，从中任取 $n$ 个向量都是线性无关的？为什么？

对于素数 $p$⁠，零次多项式 $f(x)=p$ 是本原多项式吗？为什么？

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(x)>0$⁠。记 $F(x)={\int }_a^{b}f(t)|x-t|dt.$ 证明：$F(x)$ 在 $[a,b]$ 上有唯一的极小值点。

证明函数 $f(x)=\sqrt{x}\ln x$ 在 $(0,+\infty )$ 上一致连续。

若函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 ${\int }_0^{1}f(x)dx=0,$ 证明 ${\left[{\int }_0^{1}xf(x)dx\right]}^2\le \frac{1}{12}{\int }_0^1{f}^2(x)dx.$

将函数 $f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}$ 展开成 $x$ 的幂级数，并求级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$ 的和。

求曲线积分 $I={\int }_L(e^x+1)\cos ydx-[(e^x+x)\sin y-x]dy,$ 其中 $L$ 为点 $A(2,0)$ 沿上半圆 $y=\sqrt{4-x^2}$ 到点 $B(-2,0)$ 的有向曲线段。

设 $D=\{(x,y):x^2+y^2\le 1\},$ 计算 ${\iint }_D\frac{dxdy}{\sqrt{(1-x{)}^2+y^2}}.$

函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 附近有定义，且在 $x=1$ 处可导。已知 $f(1)=0$⁠、$f^{\prime }(1)=2$⁠，求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{f({\sin }^{2}x+\cos x)}{e^{x^2}-1}.$

设 $S$ 为上半球面 $x^2+y^2+z^2=a^2,z\ge 0.$ 求 ${\iint }_S(x+y+z)dS.$

设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，区域 $D=\{(x,y):0\le x\le 3,0\le y\le 3\}.$ 求 ${\iint }_D[x+y]dxdy.$