考研真题

设 $f(x)=x^3\cos x$⁠，求 $f^{(2023)}(0)$⁠。

求极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x-\arctan x}{x^3}.$

在欧氏空间里，称 $\alpha -\beta$ 的长度 $|\alpha -\beta |$ 为向量 $\alpha$ 到 $\beta$ 的距离。已知欧氏空间 $V_{\mathbb{R}}$ 中有 $n+1$ 个向量 ${\alpha }_0,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$⁠，两两之间的距离都是2。令...

设 $a,b,c$ 都是整数，且 $abc=15$⁠。多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}0& x& a& b\\ -x& 0& x& c\\ -a& -x& 0& x\\ -b& -c& -x& 0\end{array}\right|.$ 证明： (1)$f(x)$ 在有理数域上可约； (2)$f(x)$ 没有奇数根。

设 $\mathcal{A}\in L(V)$⁠，用 $\mathrm{Im}\mathcal{A}$ 表示线性变换 $\mathcal{A}$ 的值域。若 $f(x)=g(x)h(x),(g(x),h(x))=1,$ 证明...

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证明： (1)任意 Jordan 块一定与它自己的转置相似； (2)复数域上任何方阵一定与自己的转置相似。

设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ 为 $x^3+x^2+x+2=0$ 的三个根，$g(x)=x^2+2x+3$⁠。求三阶整数矩阵 $A$⁠，使得 $A$ 的特征值为 $g({\lambda }_1),g({\lambda }_2),g({\lambda }_3)$⁠。

设整数 $a_1,a_2,\dots ,a_{2024}$⁠，给出实二次型 $f=(x_1+a_2{x}_2{)}^2+(x_2+a_3{x}_3{)}^2+\cdots +(x_{2023}+a_{2024}{x}_{2024}{)}^2+(x_{2024}+a_1{x}_1{)}^2$ 不是正定二次型的充分必要条件。

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计算四阶行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}0.25& 0.5& 1& 2\\ 0.16& 0.4& 1& 2.5\\ 2& 1& 0.5& 0.25\\ -1& 1& -1& 1\end{array}\right|.$

将多项式 $f(x)=x^{12}-1$ 在有理数域上分解为首一系数等于1的不可约多项式的乘积。

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，是否存在正整数 $m$⁠，使得 $\mathrm{rank}(A^{2m})=\mathrm{rank}(A^m)?$ 为什么？

设 $\mathcal{A}$ 是线性空间 $V$ 的线性变换，且 $\mathcal{A}$ 是单射，那么 $\mathcal{A}$ 一定是满射吗？为什么？