考研真题

求矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -3& -3& 3\\ -2& -2& 2\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准形，并计算 $C(A)=\{B:AB=BA\}$ 的维数。

证明存在 $\xi \in (0,\pi )$⁠，使 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\cos (n\xi )}{n{\ln }^2(n+2)}=0.$

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设 $u$ 是平面开区域 $D$ 上的二元函数，且所有偏导数连续。证明：$u$ 是 $D$ 上的调和函数，即 $u_{xx}+u_{yy}\equiv 0,$ 当且仅当对 $D$ 内任意圆周 $L$⁠，有 ${\oint }_L\frac{\partial u}{\partial n}ds=0.$

设 $\{f_n(x)\}$ 是 $[a,b]$ 上黎曼可积的函数列，且在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f$⁠。证明 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。

设 $f$ 是 $[0,+\infty )$ 上无界的连续函数。问 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 是否一定发散？给出证明或反例。

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，$f(0)=0,f(1)=1$⁠，并存在 $c\in (0,1)$ 使 $f(c)>c^2$⁠。证明至少存在 $\xi \in (0,1)$⁠，使 $f^{\prime \prime }(\xi )<2$⁠。

证明 ${\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{1+x^2}dx<{\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos x}{1+x^2}dx.$

设 $u(x,y,z)=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4},$ 求在原点处函数 $u$ 增长最快的方向。

设 $u=f(x,y,z)$ 的所有二阶偏导数连续，$v=f(x(s,t,r),y(s,t,r),z(s,t,r))$⁠，其中 $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{9}(as+4t+8r),\\ y=\frac{1}{9}(4s+bt-4r),\\ z=\frac{1}{9}(8s-4t+cr).\end{array}$ 讨论是否存在常数...

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计算三重积分 ${\iiint }_{\Omega }(x+y+z{)}^{2}dxdydz,$ 其中 $\Omega =\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:|x|+|y|+|z|\le 1\}.$

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x},& x\ne 0,\\ 1,& x=0.\end{array}$ 证明 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致连续。

设 $a_1=1$⁠，且当 $n\ge 2$ 时 $a_n=\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+\frac{5}{a_{n-1}}\right).$ 证明 $\{a_n\}$ 收敛，并求极限。