考研真题

证明 Riemann zeta 函数 $\zeta (x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^x}$ 在 $(1,+\infty )$ 上连续且无穷次可微。

计算曲线积分 ${\int }_{L}ydx+zdy+xdz,$ 其中 $L$ 是 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\frac{x}{a}+\frac{z}{c}=1,$ 在第一卦限内从 $(a,0,0)$ 到 $(0,0,c)$ 的曲线，...

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将方程 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0$ 变换为极坐标形式。

证明函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}xy\cos \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$ 在 $(0,0)$ 连续且偏导数存在，但偏导数在 $(0,0)$ 不连续，而 $f$ 在 $(0,0)$ 可微。

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。证明存在 $\xi \in (a,b)$⁠，使 $f(\xi )+f^{\prime }(\xi )=\frac{e^{b}f(b)-e^{a}f(a)}{e^b-e^a}.$

已知 $a,b>0$⁠，且 $c={\lim }_{x\to 0}\left(\frac{4}{\ln (1+x)}-\frac{4}{x}\right),$ 定义 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin (ax)}{x},& x<0,\\ c,& x=0,\\ (1+bx{)}^{1/x},& x>0.\end{array}$ 若 $f$ 在...

设 $V$ 为数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间，$\mathcal{A}$ 为 $V$ 上的线性变换。证明存在 $V$ 上的线性变换 $\mathcal{B}$⁠，使...

求 $n$ 阶三对角行列式 $D_n=\left|\begin{array}{ccccc}\cos \alpha & 1& & & \\ 1& 2\cos \alpha & 1& & \\ & 1& 2\cos \alpha & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & 1\\ & & & 1& 2\cos \alpha \end{array}\right|.$

设 $Q$ 为 $n$ 阶对称正定阵，$x$ 为 $n$ 维实列向量。证明 $0\le x^T(Q+x{x}^T{)}^{-1}x<1.$

设 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ 为 $n$ 维欧氏空间 ${\mathbb{R}}^n$ 上的线性变换，且 $\mathcal{A}$ 有特征值 $\mu$⁠，满足...

已知 $B$ 是二阶可逆矩阵，若矩阵 $A$ 满足 $AB=-BA,$ 证明 $A^2$ 是纯量矩阵。

证明 $\mathrm{rank}A={\max }_{1\le i\le n}\mathrm{rank}{A}_i$ 的充要条件是 $Ax=\beta$ 有解，其中 $\beta \ne 0$⁠，$A_i$ 是把 $n$ 阶矩阵 $A$ 的第 $i$ 列替换为 $\beta$ 后的矩阵。

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