考研真题

设 $A$ 为二阶复方阵，满足 $\mathrm{tr}(A^k)=k(k=1,2).$ 求 $|A|$⁠。

设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1& 0& 2\end{array}\right).$ 若 $AXB=C$⁠，求 $X$⁠。

求含参积分 $I(y)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}\cos (2xy)dx.$

计算 Gauss 曲面积分 $I={\iint }_S\frac{\cos (\widehat{n,r})}{r^2}dS,$ 其中 $S$ 为光滑封闭曲面，原点不在 $S$ 上，$n$ 为外法向量，$r$ 为位置向量。

给定方程 $x^2+y+\sin (xy)=0.$ (1)说明在 $(0,0)$ 的充分小邻域内，方程确定唯一可导函数 $y=y(x)$⁠，使 $y(0)=0$⁠，并求 $y^{\prime }$⁠； (2)判断是否确定唯一函数 $x=x(y)$⁠，使 $x(0)=0$⁠。

设 $f(n)=a_0+{\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{a_k}{n^k},|a_k|\le M.$ 证明数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)$ 收敛的充要条件为 $a_0=a_1=0$⁠。

设 $f$ 是 $(a,b)$ 上的凸函数。证明： (1)每点左右导数 $f_{-}^{\prime }(x),f_{+}^{\prime }(x)$ 均存在，且 $f_{-}^{\prime }(x)\le f_{+}^{\prime }(x)$⁠； (2)两者均在 $(a,b)$ 上单调递增。

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设函数 $f$ 在区间 $I$ 上有定义，令 ${\omega }_f(\delta )={\sup }_{\begin{array}{c}x,y\in I\\ |x-y|<\delta \end{array}}|f(x)-f(y)|.$ 证明： (1)${\lim }_{\delta \to 0^{+}}{\omega }_f(\delta )$ 存在； (2)$f$ 在 $I$...

设有界数列 $\{x_n\}$ 满足 ${\lim }_{n\to \infty }(x_{n+1}-x_n)=0.$ 令 $m=\mathrm{liminf}{x}_n,M=\mathrm{limsup}{x}_n,m<M.$ 证明：区间 $(m,M)$ 内任意数都是该数列某个子列的极限。

计算 ${\lim }_{x\to \infty }{\left[\frac{1}{e}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x-1}\right]}^x.$

计算 ${\lim }_{n\to \infty }n\left[\frac{1^2+3^2+\cdots +(2n+1{)}^2}{n^3}-\frac{4}{3}\right].$

设 ${\mathcal{A}}_1,\dots ,{\mathcal{A}}_m$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 ${\mathcal{A}}_i^2={\mathcal{A}}_i,{\mathcal{A}}_i{\mathcal{A}}_j=0(i\ne j),{\bigcap }_{i=1}^m\ker {\mathcal{A}}_i=\{0\}.$ ...