考研真题

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{n},& x=\frac{m}{n}\in \mathbb{Q},(m,n)=1,n>0,\\ 0,& x\in {\mathbb{Q}}^c.\end{array}$ 证明：$f(x)$ 在无理点连续，在有理点不连续。

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设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的二阶可导函数，且 $f^{\prime \prime }(x)\le 0,f(x)\ge 0.$ 证明： ${\max }_{x\in [a,b]}f(x)\le \frac{2}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx.$

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设 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上有二阶导数，且满足 $f(x)+f^{\prime \prime }(x)=-xg(x)f^{\prime }(x),$ 其中 $g(x)\ge 0.$ 证明：$|f(x)|$ 有界。

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设 $f(x)$ 在 $[x_1,x_2]$ 上连续，$x_1{x}_2>0$⁠，在 $(x_1,x_2)$ 上可导。证明：存在 $\xi \in (x_1,x_2)$⁠，使得...

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证明：函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\left(nx{e}^{-nx}-(n-1)x{e}^{-(n-1)x}\right)$ 在 $[0,1]$ 上收敛但不一致收敛，且在该区间连续。

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1. 叙述定义： ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty .$ 2. 叙述定义： ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)\ne A.$

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计算三重积分 ${\iiint }_{x^2+y^2+z^2\le 1}{e}^{|z|}dxdydz.$

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求积分 $I(m,n)={\int }_0^1(\ln t{)}^m{t}^{n}dt,m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$

将 $f(x)=\ln x$ 按 $\frac{x-1}{x+1}$ 进行 Taylor 展开。

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计算极限 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\ln {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\right)}^n.$

在空间直角坐标系中，已知双曲抛物面 $\Sigma :x^2-4y^2=2z.$ 1. 证明：对 $\Sigma$ 上任意一点，都存在经过该点的直母线。 2. 若两条直母线正交，求出所有正交直母线的交点轨迹所构成的图形。

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在空间直角坐标系中，设 $S_1$ 为球体 $(x-6{)}^2+(y-8{)}^2+z^2=25,$ $S_2$ 为球体 $(x-10{)}^2+(y-5{)}^2+z^2=50.$ 求 $S_1\cap S_2$ 的交线绕 $z$ 轴旋转所得的旋转曲面的方程。

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