考研真题

设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上非负递减，且 ${\int }_1^{+\infty }{x}^{a}f(x)dx$ 收敛。证明： ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^{a+1}f(x)=0.$

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设 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上以 $2\pi$ 为周期的连续函数，定义 $f_n(x)=\frac{1}{a_n}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t){\left(\cos \frac{t-x}{2}\right)}^{2n}dt,x\in \mathbb{R},n=1,2,3,\dots ,$ 其中...

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定义 $f(x)={\int }_0^x\cos \frac{1}{t}dt,x\in \mathbb{R}.$ 证明：$f(x)$ 在 $x=0$ 可导，且 $f^{\prime }(0)=0.$

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设 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 为区域，$u(x,y),v(x,y)$ 在 $D$ 上连续可微，且在 $D$ 上满足 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x},$ ...

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设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)<0<f(b).$ 证明：存在 $c\in (a,b)$⁠，使得 $f(c)=0,$ 且 $f(x)>0,x\in (c,b].$

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设 $a>0,b>0$⁠，计算积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\ln (a^2+x^2)}{b^2+x^2}dx.$

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设 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 由 $x^2+y^2=2y$ 和 $y\ge 1$ 围成，计算二重积分 ${\iint }_D\frac{2y-y^2-x^2}{y}dxdy.$

计算曲线积分 ${\oint }_L(y^2+z^2)dx+(z^2+x^2)dy+(x^2+y^2)dz,$ 其中曲线 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0$ 在第一卦限部分的边界，它的定向使得球面的上侧在曲线左侧。

若 $\{a_n\}$ 收敛当且仅当对任给的正整数 $p$⁠，有 ${\lim }_{n\to \infty }|a_{n+p}-a_n|=0.$ 此命题是否正确？为什么？

计算极限 ${\lim }_{x\to \infty }{\int }_0^x\max (1,y){\sin }^2(xy)dy.$

求 $f(x)={\int }_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t}}$ 的幂级数展开式。

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证明： $\sin (x^2+y^2)$ 在 ${\mathbb{R}}^2$ 上不一致连续。

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