考研真题

设 $\{a_n\}$ 是正数列，证明： ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_n^n}=\sup \{a_n\}.$

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设 $f(x)$ 可微，且 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{xf(x)+f^{\prime }(x)}{x}=L\in \mathbb{R}.$ 证明： ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=L.$

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求极限 ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{e^x-1}-e}{\sqrt{x}}.$

试构造仅在 $x=0$ 和 $x=2026$ 两点可微的函数 $f(x)$⁠，而在其余点皆不连续。

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设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 为 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为...

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设 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),|A|=1.$ 证明： 1. 当 $|a+d|>2$ 时，$A$ 与 $\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& 1/\lambda \end{array}\right)$ 相似，其中 $\lambda \ne \pm 1,0$⁠，且...

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设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right),n\ge 3.$ 1. 证明： $A^n=A^{n-2}+A^2-E.$ 2. 证明：$A^{100}-E$ 不是零矩阵。

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设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 为 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为 $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ -1& 2& 1& 3\\ 1& 2& 5& 5\\ 2& -2& 1& -2\end{array}\right).$ 求...

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设 $U=L({\alpha }_1,{\alpha }_2)$ 为欧氏空间中的子空间，其中 ${\alpha }_1=(1,1,2,1{)}^{\prime },{\alpha }_2=(1,0,0,-2{)}^{\prime }.$ 定义内积为 $({\alpha }_1,{\alpha }_2)={\alpha }_1^{\prime }{\alpha }_2.$ 求 $\dim U^{\perp }$ 和...

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1. 设 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ 是 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}0& 3& -1\\ 1& -2& 2\\ 4& 1& -1\end{array}\right).$ 求...

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1. 求方程 $x^4+x^2+1=0$ 的所有复根。 2. 设 $(f_1(x),f_2(x))$ 是次数不超过 $3$ 的首一互异多项式，且 $(x^4+x^2+1)\mid f_1(x^3)+x^4{f}_2(x^3),$ 求 $(f_1(x),f_2(x))$⁠。

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计算 $D_n=\left|\begin{array}{ccccc}2& 0& \cdots & 0& 2\\ -1& 2& \cdots & 0& 2\\ 0& -1& \ddots & 0& ⋮\\ ⋮& ⋮& \ddots & 2& 2\\ 0& 0& \cdots & -1& 2\end{array}\right|$ 并给出两种方法。