考研真题

计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\det \left(\begin{array}{ccccc}x& y& y& \cdots & y\\ z& x& y& \cdots & y\\ z& z& x& \cdots & y\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z& z& z& \cdots & x\end{array}\right).$

设 $e_1,e_2$ 为空间的一组基，线性变换 $\phi ,\psi$ 满足 $\phi (e_1)={\beta }_1,\phi (e_2)={\beta }_2,$ $\psi (e_1+e_2)={\beta }_1+{\beta }_2,\psi (e_1-e_2)={\beta }_1-{\beta }_2.$ 证明...

若 $A_{3\times 2},B_{2\times 3}$⁠，且 $AB$ 的特征多项式为 ${\lambda }^3-3{\lambda }^2+2\lambda ,$ 求 $BA$ 的特征多项式。

已知 $A$ 为2024阶方阵，第一行全为1；第二行前1012项为1、后1012项为 $-1$⁠，且 $|A|=2024$⁠。求 ${\sum }_{k=1}^{2024}{A}_{1k},{\sum }_{s=1013}^{2024}{A}_{1s},$ 其中 $A_{ij}$ 为代数余子式。

若 $f(x_1,\dots ,x_{2n})={\sum }_{i=1}^n{x}_i{x}_{2n+1-i},$ 求二次型的符号差。

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$r(A)=m$⁠，线性变换 $\phi$ 在某组基下的矩阵为 $A$⁠。题面另给出 $AX=0$ 的解空间维数为 $m$⁠。求 $\dim (\mathrm{Im}\phi )$⁠。

设 $A,B$ 均为可逆矩阵，求 ${\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)}^{-1}.$

若 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& a& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right),r(B)=2,$ 且 $AB=O$⁠，求 $a$⁠。

若 $a,b,c$ 是线性空间上的一组基，求 $ta+b,tb+c,tc+a$ 仍为一组基的充要条件。

计算 $I={\int }_0^{+\infty }\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}\cos xdx.$

计算向量场 $\vec{V}=yz\vec{j}$(密度为1)通过椭球面 $x^2+\frac{y^2}{4}+z^2=1$ 的单位时间流量。

计算 ${\int }_{L}xdy-ydx,$ 其中 $L:x^3+y^3=xy$⁠，$x,y\ge 0$⁠，取逆时针方向。