考研真题

设 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上有任意阶导数，并且对任意实数 $x$ 及 $n=0,1,2,\dots$⁠，满足 $|f^{(n)}(x)|\le n!|x|.$ 证明 $f(x)=0$ 对所有实数 $x$ 成立。

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计算曲面积分 $I={\iint }_S(z^2+x)dydz+\sqrt{z}dxdy,$ 其中 $S$ 是抛物面 $z=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$ 在 $z=0$ 和 $z=\pi$ 之间的部分，定向取下侧。

求函数 $f(x,y)=\sin x+\sin y+\sin (x+y)$ 在 $(x,y)\in [0,2\pi ]\times [0,2\pi ]$ 的所有极值点。

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由方程组 $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-uv=0,\\ xy+u^2-v^2=0\end{array}$ 能否确定 $u,v$ 为 $x,y$ 的函数？在能确定隐函数的条件下，求 $u_x,v_x,u_y,v_y$⁠。

球面参数方程为 $x=\sin \phi \cos \theta ,y=\sin \phi \sin \theta ,z=\cos \phi .$ 求对应 $\theta =\phi =\pi /4$ 处的切平面和法线方程。

计算 ${\int }_0^1{\int }_0^1\left|xy-\frac{1}{4}\right|dydx.$

计算 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots +\frac{2n-1}{2^n}\right).$

计算 ${\lim }_{x\to +\infty }\sqrt{x}{\int }_x^{x+1}\frac{dt}{\sqrt{t+\ln t}}.$

计算 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots +\frac{1}{2n+1}\right).$

记 $\mathrm{End}(V)$ 为 $n$ 维复线性空间 $V$ 上所有线性变换构成的空间。固定 $\sigma \in \mathrm{End}(V)$⁠，定义 $\phi (\rho )=\sigma \rho -\rho \sigma .$ 证明：若对某个正整数 $m$ 有...

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设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\gamma ,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m\in V$ 满足 $(\gamma ,{\alpha }_k)>0,({\alpha }_i,{\alpha }_j)\le 0(i\ne j).$ 证明 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 线性无关。

证明三对角实对称矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}2& -1& & & \\ -1& 2& -1& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -1& 2& -1\\ & & & -1& 2\end{array}\right)$ 正定，并且有 $n$ 个互不相同的正特征值。