考研真题

证明：每一个 $n$ 维线性空间都可以写成 $n$ 个一维线性空间的直和。

用正交线性替换把四元实二次型 ${\sum }_{1\le i\le j\le 4}{x}_i{x}_j$ 化为平方和。

设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2& 0& 2& 4\\ 0& 2& 0& 2\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right).$ 求 $A$ 的 Jordan 标准形。

计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\det (\max \{i,j\}{)}_{1\le i,j\le n},$ 即矩阵前三行为 $(1,2,3,\dots ,n)$⁠、$(2,2,3,\dots ,n)$⁠、$(3,3,3,\dots ,n)$⁠，依此类推。

求实数 $b$⁠，使线性方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4=2,\\ 2x_1+2x_3=0,\\ 2x_1+x_2+2x_3+x_4=2,\\ b{x}_1+2x_2+b{x}_3+2x_4=b\end{array}$ 有解，并在有解时求所有解。

设 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $AB-BA=E+A,$ 求 $|A^{2024}|$⁠。

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若三阶方阵 $A$ 的行列式为 $1$⁠、迹为 $2$⁠，并且多项式 $f(x)=x^2-2x$ 与 $A$ 的特征多项式不互素，写出 $A$ 的所有特征值。r

求所有 $n$ 阶实对称矩阵构成的实线性空间的维数。

求实二次型 $x_1^2-3x_3^2-2x_1{x}_2+2x_1{x}_3-2x_2{x}_3$ 的符号差。

秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^2=A$⁠。求 $A$ 的所有一阶主子式之和。

计算多项式最大公因式 $(x^{2023}-1,x^{2024}-1).$

设 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上一致连续，$g$ 在 $[a,+\infty )$ 上连续，且 ${\lim }_{x\to +\infty }[f(x)-g(x)]=0.$ 证明 $g$ 在 $[a,+\infty )$ 上一致连续。