考研真题

对上题函数证明：当 $\alpha >3/2$ 时，$f$ 在 $(0,0)$ 可微。

设 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{|x{|}^{\alpha }|y{|}^{\alpha }}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$ 证明：当 $\alpha >1$ 时，$f$ 在 $(0,0)$ 连续。

讨论方程 $f(x)=-\frac{1}{2}(1+e^{-1})+{\int }_{-1}^1|x-t|e^{-t^2}dt=0$ 在 $[-1,1]$ 上根的个数。

求 $f(x)={\int }_0^x\frac{\ln (1+2t)}{t}dt$ 的 Maclaurin 级数。

讨论 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x^{p-1}+1/x}dx,p\ge 0,$ 的条件收敛和绝对收敛性。

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椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 在点 $A=(1,3\sqrt{3}/2)$ 的切线交 $y$ 轴于点 $B$⁠。计算...

计算 $I={\int }_0^{2024}\frac{x}{e^{2024-x}+e^x}dx.$

求极限 ${\lim }_{x\to 0^{+}}\left[\frac{1}{x(1+x{)}^{1/2}}-\frac{1}{xe}\right].$

设 $O,A,B$ 不共线且 $A\ne B$⁠。证明：点 $C$ 与点 $A,B$ 共线的充分必要条件是向量 $\overrightarrow{OC}$ 可分解为 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 的线性组合，且两个系数之和为 $1$⁠。

证明方程 $5x^2+5y^2+2z^2-8xy-2xz-2yz+20x+20y-40z-16=0$ 表示柱面，并指出此柱面的母线方向及一条准线方程。

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设直线 $l_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1},l_2:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-2},$ 和平面 $\pi :x+y+z=0$⁠。求由与 $l_1,l_2$ 相交且平行于 $\pi$ 的所有直线构成的曲面 $S$ 的方程。

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设 $\phi$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的对称变换。证明：对任意 $\alpha \in V$ 都有 $(\phi (\alpha ),\alpha )\ge 0$ 的充分必要条件是 $\phi$ 的全部特征值均为非负实数。